ett system av en linjär ekvation består av två eller flera ekvationer och man söker en gemensam lösning på ekvationerna. I ett system med linjära ekvationer motsvarar varje ekvation med en rak linje och man söker ut den punkt där de två linjerna skär.
exempel
Lös följande system med linjära ekvationer:
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$ $
eftersom vi söker ut skärningspunkten kan vi gradera ekvationerna:
Vi ser här att linjerna skär varandra vid punkten x = 2, y = 8. Detta är vår lösning och vi kan hänvisa till det som en grafisk lösning på uppgiften.
men hur når man en lösning om linjerna aldrig skär? Man kan inte, ekvationssystemet har ingen lösning.
man kan också komma fram till det rätta svaret med hjälp av elimineringsmetoden (även kallad additionsmetoden eller den linjära kombinationsmetoden) eller substitutionsmetoden.,
När du använder substitutionsmetoden använder vi det faktum att om två uttryck y och x är av lika värde x = y, kan x ersätta y eller vice versa i ett annat uttryck utan att ändra värdet på uttrycket.
exempel
Lös ekvationssystemen med hjälp av substitutionsmetoden
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
vi ersätter y i den övre ekvationen med uttrycket för den andra ekvationen:
$$\begin{array}{LCL} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
för att bestämma y-värdet kan vi fortsätta genom att infoga vårt x-värde i någon av ekvationerna., Vi väljer den första ekvationen:
$$y=2x+4$$
Vi kopplar in x=2 och får
$$y=2\cdot 2+4=8$$
Vi har således kommit fram till exakt samma svar som i den grafiska lösningen.
elimineringsmetoden kräver att vi lägger till eller subtraherar ekvationerna för att eliminera antingen x eller y, ofta kan man inte fortsätta med tillägget direkt utan att först multiplicera antingen den första eller andra ekvationen med något värde.
exempel
$$2x-2y=8$$
$$x+y=1$$
vi vill nu lägga till de två ekvationerna men det kommer inte att resultera i att antingen x eller y elimineras., Därför måste vi multiplicera den andra ekvationen med 2 på båda sidor och få:
$$2x-2y=8$$
$2x+2y=2$$
nu försöker vi lägga till vårt system av ekvationer. Vi börjar med X-termerna till vänster och y-termerna därefter och slutligen med siffrorna på höger sida:
$$(2x+2x)+(-2y+2y)=8+2$$
y-termerna har nu eliminerats och vi har nu en ekvation med endast en variabel: