Et system af en lineær ligning, der består af to eller flere ligninger, og man søger en fælles løsning til ligningerne. I et system af lineære ligninger svarer hver ligning med en lige linje svarer, og man opsøger det punkt, hvor de to linjer skærer hinanden.
Eksempel
Løse følgende system af lineære ligninger:
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
da vi søger skæringspunktet, kan vi tegne ligningerne:
Vi ser her, at linjerne skærer hinanden ved punktet = = 2, y = 8. Dette er vores løsning, og vi kan henvise til det som en grafisk løsning på opgaven.
men hvordan når man en løsning, hvis linjerne aldrig krydser hinanden? Man kan ikke, ligningssystemet har ingen løsning.
man kan også nå frem til det korrekte svar ved hjælp af eliminationsmetoden (også kaldet tilsætningsmetoden eller den lineære kombinationsmetode) eller substitutionsmetoden.,
Når vi bruger substitutionsmetoden, bruger vi det faktum, at hvis to udtryk y og.har samme værdi= = y, kan. erstatte y eller omvendt i et andet udtryk uden at ændre værdien af udtrykket.
Eksempel
Løse systemer af ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
Vi erstatte y i top ligning med udtrykket for den anden ligning:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
for At bestemme y-værdien, kan vi gå videre ved at sætte vores x-værdi i nogen af de ligninger., Vi vælger den første ligning:
$$y=2.+4$$
Vi tilslutter==2 og får
$$y=2\cdot 2+4 = 8$$
Vi er således nået til nøjagtigt det samme svar som i den grafiske løsning.
eliminationsmetoden kræver, at vi tilføjer eller trækker ligningerne for at eliminere enten.eller y, ofte kan man ikke fortsætte med tilføjelsen direkte uden først at multiplicere enten den første eller anden ligning med en eller anden værdi.
eksempel
$$2.-2y=8$$
$$+ + y=1$$
Vi ønsker nu at tilføje de to ligninger, men det vil ikke resultere i, at hverken. eller y fjernes., Derfor skal vi multiplicere den anden ligning med 2 på begge sider og få:
$$2.-2y=8$$
$$2.+2y=2$$
nu forsøger vi at tilføje vores ligningssystem. Vi begynder med x-vilkår på venstre, og y-form derefter, og endelig med tal på højre side:
$$(2x+2x)+(-2y+2y)=8+2$$
y-form er nu fjernet, og vi har nu en ligning med kun én variabel: