układ równań liniowych składa się z dwóch lub więcej równań i jeden szuka wspólnego rozwiązania równań. W układzie równań liniowych każde równanie odpowiada linii prostej, a jeden szuka punktu, w którym przecinają się dwie linie.
przykład
Rozwiąż następujący układ równań liniowych:
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ end{matrix} \right.,$$
ponieważ szukamy punktu przecięcia, możemy narysować równania:
widzimy tutaj, że linie przecinają się nawzajem w punkcie x = 2, y = 8. Jest to nasze rozwiązanie i możemy je określić jako graficzne rozwiązanie zadania.
ale jak dojść do rozwiązania, skoro linie nigdy się nie przecinają? Nie można, układ równań nie ma rozwiązania.
można również uzyskać poprawną odpowiedź za pomocą metody eliminacji (zwanej również metodą dodawania lub metodą kombinacji liniowej) lub metody substytucji.,
przy użyciu metody substytucji używamy faktu, że jeżeli dwa wyrażenia y i x mają jednakową wartość x=y, to x może zastąpić y lub odwrotnie w innym wyrażeniu bez zmiany wartości wyrażenia.
przykład
Rozwiąż układy równań metodą podstawienia
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ end{matrix} \right.,$$
zastępujemy y w górnym równaniu wyrażeniem dla drugiego równania:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ end{array}$$
aby określić wartość Y, możemy kontynuować wstawianie naszej wartości X w dowolnym z równań., Wybieramy pierwsze równanie:
$$y=2x+4$$
podłączamy x=2 i otrzymujemy
$$y=2\cdot 2+4=8$$
otrzymaliśmy więc dokładnie taką samą odpowiedź jak w rozwiązaniu graficznym.
metoda eliminacji wymaga od nas dodawania lub odejmowania równań w celu wyeliminowania x lub y, często nie można przystąpić do dodawania bezpośrednio bez pierwszego pomnożenia pierwszego lub drugiego równania przez pewną wartość.
przykład
$$2x-2Y=8$$
$$x+y=1$$
chcemy teraz dodać dwa równania, ale nie spowoduje to wyeliminowania ani x, ani y., Dlatego musimy pomnożyć drugie równanie przez 2 po obu stronach i otrzymać:
$$2x-2Y=8$$
$$2x+2Y=2$$
teraz próbujemy dodać nasz układ równań. Zaczynamy od X-termów po lewej stronie, a następnie y-termów i wreszcie z liczbami po prawej stronie:
$$(2x+2x)+(-2y+2Y)=8+2$$
y-Termy zostały wyeliminowane i mamy teraz równanie tylko z jedną zmienną: