Un sistem de ecuații liniare cuprinde două sau mai multe ecuații și o caută o soluție comună la ecuații. Într-un sistem de ecuații liniare, fiecare ecuație corespunde cu o linie dreaptă corespunde și unul caută punctul în care cele două linii se intersectează.
exemplu
rezolvați următorul sistem de ecuații liniare:
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
deoarece căutăm punctul de intersecție, putem graficul ecuațiile:
vedem aici că liniile se intersectează între ele la punctul x = 2, y = 8. Aceasta este soluția noastră și ne putem referi la ea ca o soluție grafică a sarcinii.dar cum se ajunge la o soluție dacă liniile nu se intersectează niciodată? Nu se poate, Sistemul de ecuații nu au nici o soluție.de asemenea, se poate ajunge la răspunsul corect cu ajutorul metodei de eliminare (numită și metoda de adăugare sau metoda combinației liniare) sau a metodei de substituție.,când folosim metoda de substituție, folosim faptul că dacă două expresii y și x au o valoare egală x=y, atunci x poate înlocui y sau invers într-o altă expresie fără a schimba valoarea expresiei.
exemplu
rezolvați sistemele de ecuații folosind metoda de substituție
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
inlocuim pe y în partea de sus ecuație cu expresia pentru cea de-a doua ecuație:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
Pentru a determina y-valoare, putem continua prin introducerea x-valoare în oricare dintre ecuațiile., Selectăm prima ecuație:
$$y = 2x + 4$$
conectăm x=2 și obținem
$$y=2\cdot 2+4 = 8$$
am ajuns astfel la exact același răspuns ca în soluția grafică.metoda de eliminare ne cere să adăugăm sau să scădem ecuațiile pentru a elimina fie x, fie y, adesea nu se poate continua cu adăugarea directă fără a multiplica mai întâi prima sau a doua ecuație cu o anumită valoare.
exemplu
$$2x-2y = 8$$
$$x + y=1$$
acum dorim să adăugăm cele două ecuații, dar nu va avea ca rezultat eliminarea lui x sau Y., Prin urmare, trebuie să înmulțim a doua ecuație cu 2 pe ambele părți și să obținem:
$$2x-2y=8$$
$$2x+2y=2$$
acum încercăm să adăugăm sistemul nostru de ecuații. Începem cu Termenii x din stânga și termenii y după aceea și în final cu numerele din partea dreaptă:
$$(2x+2x) + (- 2y+2y) = 8 + 2$$
termenii y au fost eliminați și acum avem o ecuație cu o singură variabilă: