Ein System einer linearen Gleichung besteht aus zwei oder mehr Gleichungen und man sucht eine gemeinsame Lösung für die Gleichungen. In einem linearen Gleichungssystem entspricht jede Gleichung einer geraden Linie und man sucht den Punkt, an dem sich die beiden Linien schneiden.
Beispiel
– Lösen Sie das folgende system von linearen Gleichungen:
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
Da wir den Schnittpunkt suchen, können wir die Gleichungen grafisch darstellen:
Wir sehen hier, dass sich die Linien am Punkt x = 2, y = 8 schneiden. Dies ist unsere Lösung und wir können sie als grafische Lösung für die Aufgabe bezeichnen.
Aber wie erreicht man eine Lösung, wenn sich die Linien nie schneiden? Man kann nicht, das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Man kann auch mit Hilfe der Eliminationsmethode (auch Additionsmethode oder lineare Kombinationsmethode genannt) oder der Substitutionsmethode zur richtigen Antwort kommen.,
Wenn wir die Substitutionsmethode verwenden, verwenden wir die Tatsache, dass, wenn zwei Ausdrücke y und x den gleichen Wert x=y haben, x in einem anderen Ausdruck y oder umgekehrt ersetzen kann, ohne den Wert des Ausdrucks zu ändern.
Beispiel
– Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Hilfe der Methode der substitution
$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
Wir ersetzen das y in der oberen Gleichung durch den Ausdruck für die zweite Gleichung:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
Um den y-Wert zu bestimmen, können wir fortfahren, indem wir unseren x-Wert in eine der Gleichungen einfügen., Wir wählen die erste Gleichung aus:
$$y=2x+4$$
Wir stecken x=2 ein und erhalten
$$y=2\cdot 2+4=8$$
Wir sind somit genau zur gleichen Antwort gekommen wie in der grafischen Lösung.
Die Eliminationsmethode erfordert, dass wir die Gleichungen addieren oder subtrahieren, um entweder x oder y zu eliminieren, oft kann man nicht direkt mit der Addition fortfahren, ohne zuerst entweder die erste oder zweite Gleichung mit einem Wert zu multiplizieren.
Beispiel
$$2x-2y=8$$
$$x+y=1$$
Wir möchten jetzt die beiden Gleichungen hinzufügen, aber es wird weder x noch y eliminiert., Daher müssen wir die zweite Gleichung auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren und erhalten:
$$2x-2y=8$$
$$2x+2y=2$$
Jetzt versuchen wir, unser Gleichungssystem hinzuzufügen. Wir beginnen mit den x-Termen auf der linken Seite und den y-Termen danach und schließlich mit den Zahlen auf der rechten Seite:
$$(2x+2x)+(- 2y+2y)=8+2$$
Die y-Terme wurden jetzt eliminiert und wir haben jetzt eine Gleichung mit nur einer Variablen: