Et system av lineære ligningen som består av to eller flere ligninger og man søker en felles løsning av ligninger. I et system av lineære ligninger, hver ligning korresponderer med en rett linje tilsvarer og man søker ut det punktet der de to linjene krysser hverandre.
Eksempel
Løse følgende system av lineære ligninger:
$$\left\{\begin{matrise} y= – 2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrise}\right.,$$
Siden vi søker ut skjæringspunktet, kan vi plotte differensialligninger:
Vi ser her at linjene skjærer hverandre i punktet x = 2, y = – 8. Dette er vår løsning, og vi kan se det som en grafisk løsning på oppgaven.
Men hvordan gjør man nå en løsning hvis linjene aldri møtes? Man kan ikke, den system av ligninger har ingen løsning.
En kan også komme frem til det riktige svaret ved hjelp av eliminering metoden (også kalt tillegg metoden eller lineær kombinasjon metode), eller erstatning-metoden.,
Når du bruker substitusjon metoden vi bruker det faktum at hvis to uttrykkene for y og x er lik verdien for x=y, og deretter på x kan erstatte y eller vice versa i et annet uttrykk uten å endre verdien av uttrykket.
Eksempel
Løse systemer av ligninger ved hjelp av substitusjon metode
$$\left\{\begin{matrise} y= – 2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrise}\right.,$$
Vi erstatter y i den øverste likningen med uttrykket for den andre ligningen:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
for Å finne ut y-verdien, kan vi gå videre ved å sette inn x-verdien i en av likningene., Velger vi den første ligningen:
$$y= – 2x+4$$
Vi plugg i x=2, og få
$$y=2\cdot 2+4=8$$
Vi har dermed kommet på nøyaktig samme svar som i grafisk løsning.
eliminering metoden krever oss til å legge til eller trekke fra likningene for å unngå å gjøre enten x eller y, ofte kan man ikke fortsette med tillegg direkte uten først å multiplisere enten den første eller den andre ligningen med en viss verdi.
Eksempel
$$2x-2y=8$$
$$x+y=1$$
Vi nå ønsker å legge til de to ligningene, men det vil ikke resultere i enten x eller y, blir eliminert., Derfor må vi multiplisere den andre ligningen med 2 på begge sider og får:
$$2x-2y=8$$
$$2x+2y=2$$
Nå er vi forsøke å legge til våre system av ligninger. Vi begynner med x-form på venstre side, og y-form etterpå og til slutt med tallene på høyre side:
$$(2x+2x)+(-2y+2y)=8+2$$
y-form har nå blitt eliminert, og vi har nå en ligning med bare én variabel: