Un sistema di un’equazione lineare comprende due o più equazioni e si cerca una soluzione comune alle equazioni. In un sistema di equazioni lineari, ogni equazione corrisponde con una linea retta corrisponde e si cerca il punto in cui le due linee si intersecano.
Esempio
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari:
$ $ \left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,Since
Poiché stiamo cercando il punto di intersezione, possiamo rappresentare graficamente le equazioni:
Vediamo qui che le linee si intersecano nel punto x = 2, y = 8. Questa è la nostra soluzione e possiamo fare riferimento ad esso come una soluzione grafica per il compito.
Ma come si raggiunge una soluzione se le linee non si intersecano mai? Non si può, il sistema di equazioni non ha soluzione.
Si può anche arrivare alla risposta corretta con l’aiuto del metodo di eliminazione (chiamato anche metodo di addizione o metodo di combinazione lineare) o del metodo di sostituzione.,
Quando si utilizza il metodo di sostituzione si usa il fatto che se due espressioni y e x hanno lo stesso valore x=y, allora x può sostituire y o viceversa in un’altra espressione senza modificare il valore dell’espressione.
Esempio
Risolvi i sistemi di equazioni usando il metodo di sostituzione
$ $ \left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.,$$
sostituire la y in alto equazione con l’espressione nella seconda equazione:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
Per determinare il valore y, si può procedere inserendo il nostro valore di x in una qualsiasi delle equazioni., Selezioniamo la prima equazione:
y y=2x+4 <
Inseriamo x=2 e otteniamo
y y=2\cdot 2+4=8 <
Siamo quindi arrivati esattamente alla stessa risposta della soluzione grafica.
Il metodo di eliminazione richiede di aggiungere o sottrarre le equazioni per eliminare x o y, spesso non si può procedere con l’aggiunta direttamente senza prima moltiplicare la prima o la seconda equazione per qualche valore.
Esempio
now 2x-2y=8 <
x x+y=1 now
Ora vogliamo aggiungere le due equazioni, ma non risulterà in x o y essere eliminati., Quindi dobbiamo moltiplicare la seconda equazione per 2 su entrambi i lati e ottenere:
2 2x-2y=8<
2 2x+2y=2 Now
Ora tentiamo di aggiungere il nostro sistema di equazioni. Iniziamo con i termini x a sinistra, e i termini y successivamente e infine con i numeri sul lato destro:
$ $ (2x + 2x)+(- 2y+2y) = 8+2<
I termini y sono stati eliminati e ora abbiamo un’equazione con una sola variabile: