een systeem van een lineaire vergelijking bestaat uit twee of meer vergelijkingen en een Zoekt Een gemeenschappelijke oplossing voor de vergelijkingen. In een systeem van lineaire vergelijkingen komt elke vergelijking overeen met een rechte lijn en men zoekt het punt waar de twee lijnen elkaar snijden.
voorbeeld
los het volgende systeem van lineaire vergelijkingen op:
$$ \ left \ {\begin{matrix} y = 2x+4\ \ y = 3x+2 \ \ \ end{matrix} \ right.,$ $
omdat we het snijpunt zoeken, kunnen we de vergelijkingen grafisch maken:
we zien hier dat de lijnen elkaar snijden op het punt x = 2, y = 8. Dit is onze oplossing en we kunnen ernaar verwijzen als een grafische oplossing voor de taak.
maar hoe bereik je een oplossing als de lijnen nooit snijden? Men kan niet, het systeem van vergelijkingen hebben geen oplossing.
men kan ook tot het juiste antwoord komen met behulp van de eliminatiemethode (ook wel de optelmethode of de lineaire combinatiemethode genoemd) of de substitutiemethode.,
bij het gebruik van de substitutiemethode gebruiken we het feit dat als twee expressies y en x van gelijke waarde x=y zijn, x y kan vervangen of omgekeerd in een andere expressie zonder de waarde van de expressie te veranderen.
voorbeeld
los de stelsels van vergelijkingen op met behulp van de substitutiemethode
$$ \ left \ {\begin{matrix} y = 2x+4\ \ y = 3x+2 \ \ \ end{matrix} \ right.,$$
We vervangen de y in de bovenste vergelijking met de uitdrukking voor de tweede vergelijking:
$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array}$$
Voor het bepalen van de y-waarde, kunnen we verder door het invoegen van onze x-waarde in een van de vergelijkingen., We selecteren de eerste vergelijking:
$$y = 2x+4$ $
We steken x=2 in en krijgen
$$y=2\cdot 2+4=8$$
we hebben dus precies hetzelfde antwoord als in de grafische oplossing.
de eliminatiemethode vereist dat we de vergelijkingen optellen of aftrekken om x of y te elimineren, vaak kan men niet direct doorgaan met de optelling zonder eerst de eerste of tweede vergelijking te vermenigvuldigen met een bepaalde waarde.
voorbeeld
$$2x-2y=8$$
$$x+y=1$$
we willen nu de twee vergelijkingen toevoegen, maar het zal er niet toe leiden dat x of y worden geëlimineerd., Daarom moeten we de tweede vergelijking vermenigvuldigen met 2 aan beide zijden en krijgen:
$$2x-2y = 8$$
$$2x+2y=2$$
nu proberen we ons stelsel van vergelijkingen toe te voegen. We beginnen met de x-termen aan de linkerkant, en de y-termen daarna en tenslotte met de getallen aan de rechterkant:
$$(2x+2x)+(- 2y+2y) = 8+2$$
De y-termen zijn nu geëlimineerd en we hebben nu een vergelijking met slechts één variabele: