en la prueba de que los precios adecuadamente anticipados fluctúan aleatoriamente (1965a) Samuelson proporciona la base matemática para lo que más tarde se conoce como la hipótesis de mercado eficiente (Fema, 1965), la conjetura de que los precios de los activos reflejan plenamente toda la información disponible en el mercado. Como se indica en su título, la principal contribución del documento fue el establecimiento de la base matemática para la afirmación de que en mercados bien informados y competitivos, los cambios de precios serán esencialmente aleatorios (Merton, 2006).,
la reclamación se basa en el hecho de que los cambios en el precio de las acciones ordinarias, bonos y futuros de materias primas dependen de variables económicas como el PNB, la inflación, el desempleo, las ganancias e incluso el clima, todos los cuales exhiben dependencias cíclicas o seriales. Partiendo de la observación de que en un mercado competitivo, si todo el mundo supiera que la especulación iba a elevar el precio de un valor en menos o más de su tasa de rendimiento esperada, el precio del valor ya habría sido ofertado al alza/a la baja para negar esa posibilidad., Por lo tanto, en los mercados» informados», los precios especulativos actuales siempre reflejarán cambios anticipados o pronosticables en las variables económicas subyacentes, dejando solo cambios imprevistos o no inevitables abiertos a la especulación, cambios que se deben suponer que se comportan al azar. Por lo tanto, la prueba de Samuelson por inducción mostró que los cambios en los precios especulativos alrededor de un precio que refleja la tasa de rendimiento esperada formarán una llamada Martingala (secuencia de variables aleatorias cuyo valor futuro esperado es igual al valor presente).,
Black and Scholes (1973)
a finales de la década de 1960, basándose en los trabajos de Bachelier (via Samuelson), Sheen Kassouf, Ed Thorpamong y otros, los economistas Fischer Black y Myron Scholes demostraron que la revisión dinámica de una cartera elimina el retorno esperado de la seguridad, inventando lo que se conocería como el «argumento neutral de riesgo». Su modelo, publicado y nombrado en su honor por hacerlo público, el modelo Black-Scholes, simula la dinámica de los mercados financieros que contienen instrumentos derivados., La ecuación que rige el precio de una opción a lo largo del tiempo en el modelo se da en reescrito siguiente formulario para demostrar el riesgo neutral argumento:
en esta forma de la ecuación de Black-Scholes, el lado izquierdo representa el cambio en el valor/precio de una opción de acciones V debido al aumento del tiempo t + la convexidad del valor de la opción en relación con el precio de la acción. El lado derecho representa el retorno libre de riesgo de una posición larga en la opción y una posición corta que consiste en acciones ∂V/∂s de la acción., In terms of the greeks:
la observación clave de Black y Scholes fue que el rendimiento sin riesgo de la cartera combinada de acciones y opciones en el lado derecho de la ecuación anterior, sobre cualquier intervalo de tiempo infinitesimal podría expresarse como la suma de θ) y un término que incorpora Gamma (Γ)., Se llama argumento neutral de riesgo porque el valor de theta (Θ) es típicamente negativo (porque el valor de la opción disminuye a medida que el tiempo se acerca a la expiración) y el valor de gamma (Γ) es típicamente positivo (reflejando las ganancias que la cartera recibe de mantener la opción). En resumen, las pérdidas de theta y las ganancias de gamma se compensan entre sí, lo que resulta en rendimientos a un tipo libre de riesgo.
Robert C., Merton más tarde extendió la comprensión matemática del modelo de Black-Scholes, y también fue la persona que acuñó el modelo como el «modelo de precios de opciones de Black-Scholes» (que ahora a veces también se conoce como el modelo de Black-Scholes-Merton). Desde su introducción en 1973 y su refinamiento en las décadas de 1970 y 80, el modelo se ha convertido en el estándar de facto para estimar el precio de las opciones sobre acciones al estilo europeo.,
La Matemática del movimiento browniano
El movimiento browniano es un proceso estocástico, es decir, consiste en una colección de variables aleatorias, y sus propiedades básicas son:
- El movimiento browniano es un proceso gaussiano, es decir, los vectores de movimiento que genera el proceso se distribuyen normalmente;
- El movimiento browniano tiene incrementos estacionarios, es decir, su distribución de probabilidad no cambia con el tiempo;
- martingala, i. e., sus vectores de movimiento producen una secuencia de variables aleatorias cuya expectativa condicional del siguiente valor en la secuencia, dados todos los valores anteriores, es igual al valor presente;
entre sus propiedades más curiosas, a pesar de ser un proceso continuo en todas partes, no es diferenciable en ninguna parte (Ermogenous, 2005). También es fractal, es decir, es auto-similar a escalas micro y macroscópicas, y, si se ejecuta el tiempo suficiente, alcanzará cualquier valor sin importar cuán grande o cuán negativo infinitamente muchas veces.,
proceso de Wiener
En matemáticas, el movimiento Browniano es el modelado de acuerdo a (y, a menudo, a que se refiere) como el proceso de Wiener después de su homónimo Norbert Wiener, quien describió la dinámica de su movimiento matemáticamente con su introducción de la Wiener ecuación:
la ecuación proporciona una estimación de la velocidad actual de una partícula fluida que fluctúa aleatoriamente. La ecuación es adecuada para encontrar estimaciones de velocidad en escalas de tiempo más largas (A diferencia de la ecuación de Langevin que se ocupa de velocidades/aceleración que cambian rápidamente). Más generalmente, el proceso de Wiener es el caso quizás más conocido de una familia más amplia de procesos estocásticos llamados procesos de Lévy caracterizados por incrementos estacionarios independientes.,
el paseo Aleatorio
Otra manera de mirar el movimiento Browniano/Wiener procesos, es como la integral de una señal de ruido blanco:
Karl Pearson en 1905 el primero en describir un proceso estocástico relacionadas con el proceso de Wiener/movimiento Browniano, que él entonces se conoce como el «random walk»., La frase estaba en finanzas popularizada por la publicación del clásico libro de Burton Malkiel de 1973 a Random Walk Down Wall Street. Un paseo aleatorio se describe mejor como un objeto matemático estocástico que describe un camino que consiste en una sucesión de pasos aleatorios en algún espacio matemático como los enteros. Las caminatas aleatorias son un tema fundamental en las discusiones de los llamados procesos de Markov, ya que una caminata aleatoria unidimensional también puede verse como una cadena de Markov cuyo espacio de estado está dado por los enteros.,
implicaciones para la modelización financiera
introducido primero en la tesis de Bachelier, luego demostrado por inducción como inevitable por Samuelson (dadas ciertas suposiciones y limitaciones) la afirmación de que los cambios de precios en los valores financieros evolucionan al azar ha sido ampliamente adoptada y puesta en práctica en la economía financiera., id=»b886997e59″>
el mismo año que vio la publicación de los dos documentos innovadores de Samuelson, también vio la introducción de la siguiente formulación de la conclusión natural de su trabajo y el de Bachelier, por Fama (1965):
en un mercado eficiente, la competencia entre los muchos participantes inteligentes conduce a una situación donde, en cualquier momento, los precios reales de los los valores ya reflejan los efectos de la información basada tanto en hechos ya ocurridos como en hechos que, a partir de Ahora, el mercado espera que se produzcan En el futuro., En otras palabras, en un mercado eficiente en cualquier momento, el precio real de un valor será una buena estimación de su valor intrínseco.
desde su introducción y posteriores Extensiones, la teoría ahora conocida como la «hipótesis de mercado eficiente» (EMH) a menudo se afirma simplemente como «los precios de los activos reflejan plenamente toda la información disponible», y una de sus implicaciones es que «es imposible vencer al mercado consistentemente sobre una base ajustada al riesgo ya que los precios del mercado solo deben reaccionar a nueva información».,
en una discusión posterior sobre la hipótesis del mercado eficiente, el propio Samuelson describe ser muy consciente del «peligro siempre presente de la banalización» por aquellos que no aprecian el carácter sutil de la teoría (Merton, 2006), concluyendo en un capítulo en el libro de 1972 Mathematical Topics in Economic Theory and Computation que:
«El teorema es tan general que debo confesar haber oscilado sobre los años en mi propia mente entre considerarlo tan trivialmente obvio y considerarlo tan notablemente barrido., Tal vez es característico de los resultados básicos.
críticas
Los críticos de la utilidad del movimiento browniano en el modelado de los cambios de precios en los valores suelen argumentar que tres de sus supuestos básicos, de 1. Independencia de los movimientos de precios, 2. La estacionalidad estadística de los cambios de precios y 3. Los movimientos de precios normalmente distribuidos hacen que el concepto no sea adecuado para su aplicación en los mercados del mundo real., Esencialmente, estas críticas típicamente se reducen a (Borna & Sharma, 2011):
- suposición de independencia de los movimientos de precios: la primera suposición, núcleo tanto del concepto de movimiento browniano como de cada modelo financiero basado en él, es que cada movimiento de precios es independiente del último, es decir, no hay un patrón predecible para discernir de los movimientos de precios, ya que todos implican cambios imprevistos y/o imperdonables que deben ser se supone que se comporta al azar., Los críticos de la suposición señalan que los estudios empíricos que investigan la llamada dependencia a corto plazo han demostrado que los precios de las acciones no se comportan al azar, más bien si comienzan a subir, las probabilidades son ligeramente a favor de que continúe aumentando en el corto plazo. A medio y largo plazo (3-8 años), los hallazgos sugieren que ocurre lo contrario, las acciones que aumentaron durante un período plurianual tienen probabilidades ligeramente mayores de caer en el siguiente.,
- suposición de estacionalidad – la segunda suposición, que los llamados cambios de precios disonantes (grandes fluctuaciones deben ser ignoradas) pueden ser ignorados, también está bajo el escrutinio de los críticos, que apuntan a análisis de, por ejemplo, los precios de las materias primas (Mandelbrot, 1963) que cuestionan la validez de la afirmación. Otros análisis relevantes destacados por los críticos incluyen los de los precios de las acciones (Fama, 1965) y las monedas (Citigroup, 2002).
- suposición de distribución normal-finalmente, también se critica la suposición de precios de acciones normalmente distribuidos., A menudo, los estudios citados incluyen los de las fluctuaciones de precios, como el de Fama (1970), que encontró que los grandes cambios de precios (de más de cinco desviaciones estándar de la media) ocurrieron 2,000 veces más a menudo de lo esperado por los modelos que asumen la distribución normal.
sin embargo, el movimiento browniano sigue siendo ampliamente aplicado a los modelos cuantitativos de los mercados financieros y la especulación del mercado (Grossman, 1992; Borna & Sharma, 2011).