Im Beweis dafür, Dass Richtig Antizipiert Preise Schwanken Zufällig (1965a) Samuelson liefert die mathematische Grundlage für das, was später bekannt als die effiziente-Markt-Hypothese (Fema, 1965), die Vermutung, dass die Preise für Vermögenswerte vollständig wider alle verfügbaren Informationen in die Markt. Wie in seinem Titel angegeben, war der Hauptbeitrag des Papiers die Feststellung der mathematischen Grundlage für die Behauptung, dass auf gut informierten und wettbewerbsfähigen Märkten Preisänderungen im Wesentlichen zufällig sein werden (Merton, 2006).,
Die Behauptung beruht auf der Tatsache, dass die Preisänderungen von Stammaktien, Anleihen und Rohstoff-Futures auf wirtschaftlichen Variablen wie BSP, Inflation, Arbeitslosigkeit, Einkommen und sogar dem Wetter beruhen, die alle zyklische oder serielle Abhängigkeiten aufweisen. Ausgehend von der Beobachtung, dass in einem wettbewerbsfähigen Markt, wenn jeder wüsste, dass Spekulationen den Preis eines Wertpapiers um weniger oder mehr als die erwartete Rendite erhöhen würden, der Preis des Wertpapiers bereits nach oben/unten geboten worden wäre, um diese Möglichkeit zu negieren., In „informierten“ Märkten spiegeln die aktuellen Spekulationspreise daher immer die erwarteten oder prognostizierbaren Veränderungen der zugrunde liegenden wirtschaftlichen Variablen wider und lassen somit nur unvorhergesehene oder unvorhersehbare Veränderungen der Spekulation offen, von denen angenommen werden muss, dass sie sich zufällig verhalten. Samuelsons Induktionsnachweis zeigte daher, dass Änderungen der spekulativen Preise um einen Preis, die die erwartete Rendite widerspiegeln, eine sogenannte Martingale bilden (Folge von Zufallsvariablen, deren erwarteter zukünftiger Wert gleich dem Barwert ist).,
Black and Scholes (1973)
In den späten 1960er Jahren, basierend auf den Werken von Bachelier (über Samuelson), Sheen Kassouf, Ed Thorpamong und anderen, zeigten die Ökonomen Fischer Black und Myron Scholes, dass die dynamische Überarbeitung eines Portfolios die erwartete Rendite der Sicherheit beseitigt und das sogenannte „Risiko-neutrale Argument“ erfindet. Ihr Modell, veröffentlicht und zu ihren Ehren für die Veröffentlichung benannt, das Black-Scholes-Modell, simuliert die Dynamik von Finanzmärkten, die derivative Instrumente enthalten., Die Gleichung, die den Preis einer Option im Laufe der Zeit im Modell regelt, ist unten in neu geschriebener Form angegeben, um das risiko-neutrale Argument zu demonstrieren:
In dieser Form der Black-Scholes-Gleichung repräsentiert die linke Seite die Änderung des Wertes/Preises einer Aktienoption V aufgrund der Zeit t zunimmt + die Konvexität des Werts der Option relativ zum Kurs der Aktie. Die rechte Seite stellt die risikofreie Rendite aus einer Long-Position in der Option und einer Short-Position dar, die aus ∂V/∂S Aktien der Aktie besteht., In terms of the greeks:
Die wichtigste Beobachtung von Black und Scholes war, dass die risikofreie Rendite des kombinierten Portfolios von Aktien und Optionen auf der rechten Seite der obigen Gleichung über jedes infinitesimale Zeitintervall als Summe von Theta (Θ) und eines Terms ausgedrückt werden kann, der Gamma (Δ)
(1)., Es wird als risikoneutrales Argument bezeichnet, da der Wert von Theta (Θ) typischerweise negativ ist (weil der Wert der Option abnimmt, wenn sich die Zeit dem Ablauf nähert) und der Wert von Gamma (Γ) typischerweise positiv ist (was die Gewinne widerspiegelt, die das Portfolio aus dem Halten der Option erhält). In Summe kompensieren sich die Verluste aus Theta und die Gewinne aus Gamma gegenseitig, was zu einer risikolosen Rendite führt.
Robert C., Merton erweiterte später das mathematische Verständnis des Black-Scholes-Modells und prägte das Modell auch als „Black-Scholes options Pricing Model“ (das jetzt manchmal auch als Black-Scholes-Merton-Modell bezeichnet wird). Seit seiner Einführung in 1973 und Verfeinerung in den 1970er und 80er Jahren ist das Modell zum De-facto-Standard für die Schätzung des Preises von Aktienoptionen im europäischen Stil geworden.,
Die Mathematik der Brownschen Bewegung
Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, dh Sie besteht aus einer Sammlung von Zufallsvariablen, und ihre grundlegenden Eigenschaften sind:
- Brownsche Bewegung ist ein Gaußscher Prozess, dh Die Bewegungsvektoren, die der Prozess erzeugt, sind normal verteilt;
- Brownsche Bewegung hat stationäre Inkremente, dh Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich im Laufe der Zeit nicht;
- Brownsche Bewegung ist eine Martingale, d. H., seine Bewegungsvektoren erzeugen eine Folge von Zufallsvariablen, deren bedingte Erwartung des nächsten Werts in der Sequenz bei allen vorherigen Werten gleich dem gegenwärtigen Wert ist;
Unter seinen merkwürdigeren Eigenschaften ist es, obwohl es überall ein kontinuierlicher Prozess ist, nirgends differenzierbar (Ermogenous, 2005). Es ist auch fraktal, dh es ist auf mikro-und makroskopischen Skalen selbst ähnlich und wird, wenn es lange genug läuft, jeden Wert treffen, egal wie groß oder wie negativ unendlich oft.,
Wiener Prozess
In der Mathematik wird Brownsche Bewegung nach ihrem Namensvetter Norbert Wiener modelliert (und oft als Wiener Prozess bezeichnet), der die Dynamik ihrer Bewegung mathematisch mit seiner Einführung der Wiener Gleichung beschrieb:
Die Gleichung liefert eine Schätzung für die aktuelle Geschwindigkeit eines Fluidpartikels, die zufällig schwankt. Die Gleichung eignet sich zum Ermitteln von Geschwindigkeitsschätzungen über längere Zeitskalen (im Gegensatz zur Langevin-Gleichung, die sich mit sich schnell ändernden Geschwindigkeiten/Beschleunigungen befasst). Im Allgemeinen ist der Wiener-Prozess der vielleicht bekannteste Fall einer breiteren Familie stochastischer Prozesse, die als Lévy-Prozesse bezeichnet werden und durch unabhängige stationäre Inkremente gekennzeichnet sind.,
Random walks
Eine andere Art, Brownian motion/Wiener Prozesse zu betrachten, ist als Integral eines white noise Signals:
Karl Pearson beschrieb 1905 zunächst einen stochastischen Prozess im Zusammenhang mit dem Wiener Prozess / Brownsche Bewegung, den er dann als „random walk“ bezeichnete., Der Ausdruck wurde insbesondere durch die Veröffentlichung von Burton Malkiels klassischem Buch A Random Walk Down Wall Street von 1973 populär gemacht. Ein zufälliger Spaziergang wird am besten als stochastisches, mathematisches Objekt beschrieben, das einen Pfad beschreibt, der aus einer Abfolge zufälliger Schritte in einem mathematischen Raum wie den ganzen Zahlen besteht. Zufällige Spaziergänge sind ein grundlegendes Thema in Diskussionen über sogenannte Markov-Prozesse, da ein eindimensionaler zufälliger Spaziergang auch als Markov-Kette angesehen werden kann, deren Zustandsraum durch die ganzen Zahlen gegeben ist.,
Implikationen für die Finanzmodellierung
Zuerst in Bacheliers Dissertation eingeführt, dann durch Induktion als unvermeidlich erwiesen von Samuelson (angesichts bestimmter Annahmen und Einschränkungen) Die Behauptung, dass sich Preisänderungen in Finanzpapieren zufällig entwickeln, wurde seitdem in der Finanzökonomie weit verbreitet und in die Praxis umgesetzt., id=“b886997e59″>
Im selben Jahr, in dem Samuelsons zwei bahnbrechende Arbeiten veröffentlicht wurden, wurde von Fama (1965) auch die folgende Formulierung des natürlichen Abschlusses seiner und Bacheliers Arbeit eingeführt:
In einem effizienten Markt führt der Wettbewerb unter den vielen intelligenten Teilnehmern zu einer Situation, in der zu jedem Zeitpunkt die tatsächlichen Preise einzelner Wertpapiere bereits die Auswirkungen von Informationen widerspiegeln, die sowohl auf Ereignissen als auch auf das ist bereits geschehen und auf Ereignisse, die der Markt ab sofort erwartet, in der Zukunft stattfinden., Mit anderen Worten, in einem effizienten Markt zu jedem Zeitpunkt ist der tatsächliche Preis eines Wertpapiers eine gute Schätzung seines inneren Wertes.
Seit seiner Einführung und späteren Erweiterungen wird die Theorie, die heute als“ Efficient-market hypothesis „(EMH) bezeichnet wird, oft einfach als“ Vermögenspreise spiegeln alle verfügbaren Informationen vollständig wider „und eine ihrer Implikationen ist, dass“es unmöglich ist, den Markt auf risikobereinigter Basis konsequent zu schlagen, da die Marktpreise nur auf neue Informationen reagieren sollten“.,
In einer späteren Diskussion über die Hypothese des effizienten Marktes, Samuelson selbst beschreibt sein sich bewusst, die „allgegenwärtige Gefahr von banalization“ durch diejenigen, die es nicht zu schätzen, der subtile Charakter der Theorie (Merton, 2006), die abschließend in einem Kapitel, in dem 1972 Buch Mathematische Themen in der Ökonomischen Theorie und Berechnung, die:
„Der Satz ist so allgemein, dass ich muss zugeben, dass pendelte sich über die Jahre in meinem eigenen Geist zwischen über Sie als trivial offensichtliche und betrachtet es als bemerkenswert fegen., Ein solches Verhalten ist charakteristisch für grundlegende Ergebnisse.
Kritik
Kritiker der Nützlichkeit der Brownschen Bewegung bei der Modellierung von Preisänderungen in Wertpapieren werden in der Regel argumentieren, dass drei ihrer Kernannahmen, von 1. Unabhängigkeit der Preisbewegungen, 2. Die statistische Stationarität der Preisänderungen und 3. Normalerweise verteilte Preisbewegungen machen das Konzept nicht geeignet für die Anwendung in realen Märkten., Im Wesentlichen kommen diese Kritikpunkte typischerweise auf (Borna & Sharma, 2011):
- Annahme der Unabhängigkeit von Preisbewegungen — Die erste Annahme, die sowohl dem Konzept der brownschen Bewegung als auch jedem darauf basierenden Finanzmodell zugrunde liegt, ist, dass jede Preisbewegung unabhängig von der letzten ist, dh es gibt kein vorhersehbares Muster, das von Preisbewegungen zu unterscheiden ist, da sie alle unvorhergesehene und/oder unvorhersehbare Änderungen beinhalten, von denen angenommen werden muss, dass sie sich zufällig verhalten., Kritiker der Annahme weisen darauf hin, dass empirische Studien, die die sogenannte kurzfristige Abhängigkeit untersuchen, gezeigt haben, dass sich die Aktienkurse nicht zufällig verhalten, sondern wenn sie anfangen zu steigen, sind die Chancen leicht dafür, dass sie kurzfristig weiter steigen. Auf mittlere bis lange Sicht (3-8 Jahre) deuten die Ergebnisse darauf hin, dass das Gegenteil der Fall ist, Aktien, die über einen Zeitraum von mehreren Jahren stiegen, haben eine etwas größere Wahrscheinlichkeit, im nächsten zu fallen.,
- Stationaritätsannahme-Die zweite Annahme, dass sogenannte dissonante Preisänderungen (große Schwankungen sind zu ignorieren) ignoriert werden können, kommt auch von Kritikern auf den Prüfstand, die auf Analysen von z.B. Rohstoffpreisen (Mandelbrot, 1963) verweisen, die die Gültigkeit des Anspruchs in Frage stellen. Relevante andere von Kritikern hervorgehobene Analysen umfassen die Aktienkurse (Fama, 1965) und Währungen (Citigroup, 2002).
- Annahme der Normalverteilung-Schließlich wird auch die Annahme normal verteilter Aktienkurse kritisiert., Häufig umfassen die zitierten Studien solche von Preisschwankungen wie die von Fama (1970), die feststellten, dass große Preisänderungen (von mehr als fünf Standardabweichungen vom Mittelwert) im Laufe der Zeit häufiger auftraten als von Modellen unter Normalverteilung erwartet.
Dennoch wird Brownsche Bewegung weiterhin häufig auf quantitative Modelle von Finanzmärkten und Marktspekulationen angewendet (Grossman, 1992; Borna & Sharma, 2011).