en konisk sektion är skärningspunkten mellan ett plan och en dubbel höger cirkulär kon . Genom att ändra skärningsvinkeln och platsen kan vi producera olika typer av Konik. Det finns fyra grundläggande typer: cirklar , ellipser , hyperbolas och parabolas . Ingen av korsningen kommer att passera genom konens hörn.
om den högra cirkulära konen skärs av ett plan vinkelrätt mot konens axel är korsningen en cirkel., Om planet skär en av bitarna av konen och dess axel men inte är vinkelrätt mot axeln, kommer korsningen att vara en ellips. För att generera en parabola måste det skärande Planet vara parallellt med ena sidan av konen och det bör korsa en bit av dubbelkonen. Och slutligen, för att generera en hyperbola skär Planet båda bitarna av konen. För detta bör lutningen på det skärande Planet vara större än konens.,
den allmänna ekvationen för någon konisk sektion är
A x 2 + B x y + c y 2 + d X + E y + F = 0 där A , B , C , D , E och F är konstanter.
När vi ändrar värdena för några av konstanterna ändras också formen på motsvarande Konik. Det är viktigt att känna till skillnaderna i ekvationerna för att snabbt identifiera vilken typ av Konik som representeras av en given ekvation.
om B 2 − 4 A C är mindre än noll, om en konisk finns, kommer det att vara antingen en cirkel eller en ellips.
om B 2 − 4 A C är lika med noll, om en konisk existerar, blir det en parabola.,
om B 2 − 4 A C är större än noll, om en konisk finns, blir det en hyperbola.
standardformer av ekvationer av koniska sektioner:
lösa system av ekvationer
Du måste vara bekant med att lösa system av linjär ekvation . Geometriskt ger den skärningspunkten mellan två eller flera raka linjer. På ett liknande sätt skulle lösningarna av systemet med kvadratiska ekvationer ge skärningspunkterna för två eller flera Konik.
algebraiskt ett system med kvadratiska ekvationer kan lösas genom eliminering eller substitution precis som i fallet med linjära system.,
exempel:
Lös ekvationssystemet.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
koefficienten x 2 är densamma för båda ekvationerna. Så subtrahera den andra ekvationen från den första för att eliminera variabeln x . Du får:
3 y 2 = 7
lösning för y:
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
använd värdet av y för att utvärdera x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
därför är lösningarna ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) och ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
låt oss nu titta på det ur geometrisk synvinkel.
om du delar upp båda sidor av den första ekvationen x 2 + 4 y 2 = 16 med 16 får du x 2 16 + y 2 4 = 1 . Det vill säga, det är en ellips centrerad vid ursprung med huvudaxel 4 och mindre axel 2 . Den andra ekvationen är en cirkel centrerad vid ursprung och har en radie 3 . Cirkeln och ellipsen möts vid fyra olika punkter som visas.