derivat av trig-funktioner
innan vi börjar lära oss hur man tar derivat av trig-funktioner, Varför går vi inte tillbaka till grunderna? Att gå tillbaka och granska grunderna är alltid en bra sak. Detta beror på att många människor tenderar att glömma egenskaperna hos trigonometriska funktioner. Dessutom skulle glömmer vissa trig egenskaper, identiteter och trig regler göra vissa frågor i kalkyl ännu svårare att lösa., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Om vi var grafen funktionen får vi:
Lägg märke till xxx-värdena vid x=π2±nn, n Friend IX = \frac{\pi}{2} \PM \pi n,n \i IX=2π±nn, n i I är odefinierade och har vertikala asymptoter. Detta innebär att derivatet av tan para x \ tan xtanx inte kommer att vara differentierbart vid dessa punkter., En intressant sak att notera här är att lutningen på solbränna x \ tan xtanx aldrig är negativ eller 0. Därför bör vi förvänta oss att derivatet av tan para \ tan xtanx alltid är positivt.
nu är nästa funktion f(x)=sec xf(x) = \sec xf(x)=secx, vilket är det ömsesidiga cos x\cos x \ cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
Trigonometriska identiteter
de första sex identiteterna är ömsesidiga identiteter, som är användbara när du vill ha dina derivat i en viss form.
nu är de viktigaste identiteterna dessa tre.
de är mycket användbara när det gäller att förenkla derivat., Nu när vi har grunderna nere, låt oss gå vidare och faktiskt ta en titt på derivatet av trig funktioner.
Trigderivat
de sex trig-funktionsderivaten är följande:
1. Derivatet av sin x\sin xsinx är:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Derivatan av barnsängx\barnsäng xcotx är:
Om du verkligen vill veta hur vi får derivat, sedan titta på denna artikel nedan:
Derivatan av inversa trigonometriska funktioner
artikeln visar att derivatan av synd och cosinus kan hittas med hjälp av definitionen av derivata, och resten kan hittas med kvoten regel. Se till att du memorera dessa derivat väl!, Vi kommer att använda dessa för att härleda ännu hårdare trigonometriska funktioner. Du kanske också vill granska kedjeregeln eftersom många hårda trig-derivat kräver det.
derivat av sin^2x
vi kanske vet att derivatet av sin är cos x\cos xcosx, men vad sägs om derivatet av sin 2x \ sin^{2} xsin2x? Låt oss börja med att definiera funktionen
låt oss flytta den fyrkantiga termen så att funktionen blir:
Vi kommer att använda kedjeregeln här. Minns att kedjeregeln anger om du har en funktion inom en funktion, kalla den
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
och så kommer derivatet av funktionen f(x) att vara:
vilket är derivatet av sin 2x\sin^{2} xsin2x. det var inte så svårt som vi trodde! Låt oss titta på runt hårt.
derivat av cos^2x
igen, vi vet derivatet av cosinus är – sin x−\sin x-sinx, men vad sägs om derivatet av cos 2x \ cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Ändå är detta derivatet av cos must 2x \ cos^{2} xcos2x. låt oss försöka hitta derivatet av en annan kvadrerad trigonometrisk funktion.
derivat av sek^2x
igen använder nyckeltanken att ta derivatet av sek 2x\sec^{2} xsec2x kedjeregeln. Vi definierar funktionen att vara
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Derivat av sinx^2
Nu innan du blir förvirrad, det här är en funktion som ser ut ungefär så synd2x\synd^{2} xsin2x. Dock synd2x\synd^{2} xsin2x är olika från syndx2\sin x^{2}sinx2. Så naturligtvis kommer det derivat också att vara annorlunda. Vi definierar funktionen som ska vara:
Observera att vi kommer att använda kedjeregeln här., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
den här är lite hårdare eftersom derivatet verkar ha två rutor; en från secant och en från x. slutligen, låt oss titta på derivatet av csc x2\csc x^{2}cscx2.
derivat av cscx^2
funktionen vi har är:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
med hjälp av kedjeregelformeln får vi att derivatet av csc x2\csc x^{2}cscx2 är:
Igen, processen i att ta derivatan av sekx2\sek x^{2}secx2and barnsängx2\cot x^{2}cotx2 kommer också vara den samma. Om du vill titta på fler frågor om att härleda trigonometriska funktioner, föreslår jag att du tittar på den här länken.,
nu är det dags att gå vidare och ta en titt på några frågor som har program till lutningen på en funktion.
lutning av en trigonometrisk funktion
Antag att vi vill hitta funktionens lutning:
vid punkten x=0. Hur skulle vi göra det? Väl, inser Ta hitta lutningen på en funktion är precis samma som att ta derivatet. Detta kommer att kräva att du använder kvotregeln eftersom funktionen är en kvot.,
minns att kvotregeln säger följande:
om du har en funktion
då derivatet av denna funktion kommer att vara:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Därav
sålunda är lutningen på funktionen vid punkten x = 0 exakt 12\frac{1}{2}21. Men vad händer om vi fick tangent sluttningen av en funktion vid en viss punkt, och vi måste hitta den punkten?
hitta punkter med tanke på lutningen
anta att du får funktionen är:
och du vill hitta den uppsättning punkter som lutningen på tangentlinjen är lika med 0. Det betyder att vi måste ta derivatet och ställa det lika med 0 för att hitta x-värdena. Observera att derivatan av tan\tantan är sek2\sek^{2}sec2 och derivat av barnsäng\cotcot är –csc2\csc^{2}csc2, så
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Vi kan faktiskt isolera sin 2\sin^{2}sin2 av sig själv i ekvationen så att:
att ersätta detta i vår ekvation ger:
nu måste vi titta på det positiva fallet och sedan det negativa fallet., För det positiva fallet har vi:
se till att eftersom x inte är avgränsad, då var är oändligt många lösningar. Faktum är att vi vet att lösningarna är:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
låt oss nu ta en titt på de fyra lösningarna som helhet. Observera att de två paren är desamma
Så vi kan bara utesluta de två lösningarna och säga att lösningarna är
Så vi kan dra slutsatsen att det här är uppsättningen punkter där lutningen på funktionen är lika med 0.
derivat av inversa trigonometriska funktioner
Nu är derivatet av inversa trig-funktioner lite fulare för att memorera. Observera att vi tenderar att använda prefixet ” arc ” istället för kraften i -1 så att de inte blir förvirrade med ömsesidiga trig-funktioner. Oavsett, de menar samma sak. Till exempel är derivatet av arctan detsamma som derivatet av tan trip -1\tan^{-1}tan−1.,
här är de inversa trig-derivaten som du behöver veta.
Observera att arctan-derivatet liknar derivatet av arccot, förutom att det finns ett extra negativt tecken. Sammanfall ser vi att derivatet av arcsin liknar derivatet av arccos. Skillnaden är igen det negativa tecknet. Vi kommer inte att göra några exempel på derivat av inversa trig-funktioner här., Men om du är intresserad, vänligen titta på den här artikeln här:
derivat av inverse trig-funktioner
artikeln här ger en detaljerad steg-för-steg-lösning för att härleda dessa derivat.