o secțiune conică este intersecția unui plan și a unui con circular dublu drept . Schimbând unghiul și locația intersecției, putem produce diferite tipuri de conice. Există patru tipuri de bază: cercuri , elipse , hiperbole și parabole . Niciuna dintre intersecții nu va trece prin vârfurile conului. dacă conul circular drept este tăiat de un plan perpendicular pe axa conului, intersecția este un cerc., Dacă planul intersectează una dintre piesele conului și axa sa, dar nu este perpendicular pe axă, intersecția va fi o elipsă. Pentru a genera o parabolă, planul care se intersectează trebuie să fie paralel cu o parte a conului și ar trebui să intersecteze o bucată din conul dublu. Și în final, pentru a genera o hiperbolă, planul intersectează ambele bucăți ale conului. Pentru aceasta, panta planului care se intersectează ar trebui să fie mai mare decât cea a conului., ecuația generală pentru orice secțiune conică este
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 unde A , B , C , D , E și F sunt constante. pe măsură ce schimbăm valorile unora dintre constante, forma conicului corespunzător se va schimba și ea. Este important să cunoaștem diferențele dintre ecuații pentru a ajuta la identificarea rapidă a tipului de conic reprezentat de o ecuație dată.
dacă B 2 – 4 A C este mai mic decât zero, dacă există un conic, acesta va fi fie un cerc, fie o elipsă.
dacă B 2-4 A C este egal cu zero, dacă există un conic, va fi o parabolă.,
dacă B 2 – 4 A C este mai mare decât zero, dacă există un conic, va fi o hiperbolă.
forme STANDARD de ecuații ale secțiunilor conice:
rezolvarea sistemelor de ecuații
trebuie să fiți familiarizați cu rezolvarea sistemului de ecuații liniare . Geometric dă punctul(punctele) de intersecție a două sau mai multe linii drepte. În mod similar, soluțiile sistemului de ecuații patratice ar da punctele de intersecție a două sau mai multe conice. din punct de vedere algebric, un sistem de ecuații patratice poate fi rezolvat prin eliminare sau substituție la fel ca în cazul sistemelor liniare.,
exemplu:
rezolva sistemul de ecuații.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
coeficientul lui x 2 este același pentru ambele ecuații. Deci, scade a doua ecuație de la prima pentru a elimina variabila x . Ai:
3 y 2 = 7
rezolvarea pentru y:
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
utilizați valoarea lui y pentru a evalua x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9-7 3 = 20 3 x = ± 20 3
prin urmare, soluțiile sunt ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) și ( − 20 3 , − 7 3 ) ., acum, să ne uităm la ea din punct de vedere geometric.
dacă împărțiți ambele părți ale primei ecuații x 2 + 4 y 2 = 16 cu 16, obțineți x 2 16 + y 2 4 = 1 . Adică este o elipsă centrată la origine cu axa majoră 4 și axa minoră 2 . A doua ecuație este un cerc centrat la origine și are o rază 3 . Cercul și elipsa se întâlnesc în patru puncte diferite, după cum se arată.