derivați ai funcțiilor trigonometrice
înainte de a începe să învățăm cum să luăm derivați ai funcțiilor trigonometrice, de ce nu ne întoarcem la elementele de bază? Revenind și revizuirea elementele de bază este întotdeauna un lucru bun. Acest lucru se datorează faptului că o mulțime de oameni tind să uite de proprietățile funcțiilor trigonometrice. În plus, uitarea anumitor proprietăți trig, identități și reguli trig ar face ca anumite întrebări din calcul să fie și mai dificil de rezolvat., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Dacă am fost de graficul funcției, vom obține:
Observați xxx valorile x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \la Ix=2π±nn,n∈I sunt nedefinite, și au asimptote verticale. Aceasta înseamnă că derivatul lui tanx \ tan xtanx nu va fi diferențiabil în acele puncte., Un lucru interesant de remarcat aici este că panta lui tanx \ tan xtanx nu este niciodată negativă sau 0. Prin urmare, ar trebui să ne așteptăm ca derivatul lui tanx\tan xtanx să fie întotdeauna pozitiv.
Acum, pe lângă funcția este f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, care este reciproca cosx\pentru xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,primele șase identități sunt identități reciproce, care vin la îndemână atunci când doriți derivatele dvs. într-o anumită formă.
Acum, cel mai important identități sunt aceste trei.
Acestea sunt foarte utile atunci când vine vorba de simplificarea instrumentelor financiare derivate., Acum, că avem elementele de bază în jos, să mergem mai departe și să ia de fapt o privire la derivatul funcțiilor trigonometrice.
derivatele trigonometrice
cele șase derivate ale funcției trigonometrice sunt următoarele:
1. Derivat de sinx\păcat xsinx este:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Derivat de patx\pat xcotx este:
Dacă chiar vrei să știi cum am ajuns la instrumentele financiare derivate, apoi uita-te la acest articol de mai jos:
Derivat al inverse funcții trig
articolul arată că derivata de păcat și cosinus pot fi găsite cu ajutorul definirea instrumentelor financiare derivate, iar restul pot fi găsite cu coeficientul de regulă. Asigurați-vă că memorați bine aceste derivate!, Vom folosi acestea pentru a obține funcții trigonometrice și mai grele. De asemenea, poate doriți să revizuiți regula lanțului, deoarece o mulțime de derivate trig dure o cer.
Derivat de sin^2x
să știm că derivata de sin e cosx\pentru xcosx, dar ceea ce despre derivat de sin2x\sin^{2} xsin2x? Să începem cu definirea funcției
Să mergem în piața la termen, astfel încât funcția devine:
Vom folosi regula lanț aici. Reamintim că regula lanț membre dacă aveți o funcție într-o funcție, să-i spunem
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Și deci derivata funcției f(x) va fi:
Care este derivat de sin2x\sin^{2} xsin2x. Nu a fost la fel de greu cum am crezut! Să ne uităm în jurul valorii de unul greu.
Derivat de cos^2x
din Nou, știm că derivata cosinus este −sinx- \sin x−sinx, dar ceea ce despre derivat de cos2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Cu toate acestea, acest lucru este derivat din cos2x\cos^{2} xcos2x. Să încercăm pentru a găsi derivat de un alt pătrat funcții trigonometrice.
derivatul sec^2x
Din nou, ideea cheie de a lua derivatul sec2x \ sec^{2} xsec2x folosește regula lanțului. Vom defini funcția de a fi
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Derivat al sinx^2
Acum, înainte de a obține confuz, acest lucru este o funcție care arată similar cu sin2x\sin^{2} xsin2x. Cu toate acestea, sin2x\sin^{2} xsin2x este diferit de sinx2\sin x^{2}sinx2. Deci, desigur, derivatele vor fi, de asemenea, diferite. Vom defini funcția de a fi:
Rețineți că vom folosi regula lanț aici., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Acesta este un pic mai greu pentru că derivat pare să aibă două pătrate; unul din secantă și unul de la x. În cele din urmă, să ne uităm la derivate de cscx2\csc x^{2}cscx2.
Derivat de cscx^2
funcția Pe care o avem este:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Folosind regula lanț formula, vom obține ca derivata cscx2\csc x^{2}cscx2 este:
din Nou, procesul în ia derivate din secx2\sec x^{2}secx2and patx2\pat x^{2}cotx2 va fi, de asemenea, la fel. Dacă doriți să vă uitați la mai multe întrebări de derivare a funcțiilor trigonometrice, atunci vă sugerez să vă uitați la acest link.,
acum este timpul să mergeți mai departe și să aruncați o privire la câteva întrebări care au aplicații pe panta unei funcții.
Panta unei funcții trigonometrice
să Presupunem că vrem să aflăm panta funcției:
la punctul x=0. Cum am face-o? Ei bine, dau seama ia găsi panta unei funcții este la fel ca a lua derivat. Acest lucru va necesita utilizarea regulii de coeficient, deoarece funcția este un coeficient.,
Amintiți-vă că regula coeficientul spune următoarele:
Dacă aveți o funcție
Atunci derivata acestei funcții va fi:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Prin urmare,
Astfel, panta funcției în punctul x = 0 este exact 12\frac{1}{2}21. Cu toate acestea, dacă ni s-ar da panta tangentă a unei funcții într-un anumit punct și trebuie să găsim acel punct?
Găsirea de puncte dat panta
să Presupunem că sunt date că funcția este:
Și doriți să găsiți un set de puncte care panta tangentei linie este egal cu 0. Aceasta înseamnă că trebuie să luăm derivatul și să-l setăm egal cu 0 pentru a găsi valorile X. Rețineți că derivat de bronz\tantan este sec2\sec^{2}sec2 și derivate de pat\cotcot este –csc2\csc^{2}csc2, deci
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
putem să izolăm sin2\sin^{2}sin2 de la sine în ecuație pentru că:
Înlocuind aceasta în ecuația noastră vă oferă:
acum trebuie să ne uităm la cazul pozitiv și apoi la cazul negativ., Pentru pozitivă caz, avem:
a se Vedea că, deoarece x nu este mărginit, atunci au fost sunt infinit mai multe soluții. De fapt, știm că soluțiile sunt:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
acum, să aruncăm o privire la cele patru soluții în ansamblu. Observați că cele două perechi sunt la fel
Deci putem exclude cele două soluții și spune că soluțiile sunt
Deci, putem concluziona că acestea sunt un set de puncte în care panta funcției este egală cu 0. derivatul funcțiilor trigonometrice Inverse acum derivatul funcțiilor trigonometrice inverse este puțin mai urât de memorat. Rețineți că avem tendința de a folosi prefixul „arc” în loc de puterea -1, astfel încât să nu se confunde cu funcțiile trigonometrice reciproce. Indiferent, înseamnă același lucru. De exemplu, derivatul arctan este același cu derivatul tan-1\tan^{-1}tan−1., iată derivatele trigonometrice inverse pe care va trebui să le cunoașteți.
Rețineți că arctan derivat este similar cu derivata arccot, cu excepția nu există un plus de semn negativ. În mod coincident, vedem că derivatul arcsinei este similar cu derivatul arccos. Diferența este din nou semnul negativ. Nu vom face nici un exemplu de derivată a funcțiilor trigonometrice inverse aici., Cu toate acestea, dacă sunteți interesat, vă rugăm să consultați acest articol aici:
derivatul funcțiilor trigonometrice inverse
articolul de aici oferă o soluție detaliată pas cu pas în derivarea acestor derivate.