sekcja stożkowa jest przecięciem płaszczyzny i podwójnego prawego stożka kołowego . Zmieniając kąt i położenie przecięcia, możemy produkować różne rodzaje stożków. Istnieją cztery podstawowe typy: koła, elipsy, hiperbole i parabole . Żadne ze skrzyżowań nie przejdzie przez wierzchołki stożka.
Jeśli prawy stożek Okrągły jest przecięty płaszczyzną prostopadłą do osi stożka, przecięcie jest okręgiem., Jeśli płaszczyzna przecina jeden z kawałków stożka i jego oś, ale nie jest prostopadła do osi, przecięcie będzie elipsą. Aby wygenerować parabolę, przecinająca się płaszczyzna musi być równoległa do jednej strony stożka i powinna przecinać jeden kawałek podwójnego stożka. I wreszcie, aby wygenerować hiperbolę, płaszczyzna przecina oba kawałki stożka. W tym celu nachylenie płaszczyzny przecinającej powinno być większe niż nachylenie stożka.,
ogólne równanie dla dowolnej sekcji stożkowej to
a X 2 + B X y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , gdzie A , B , C , D, E I F są stałymi.
gdy zmienimy wartości niektórych stałych, zmieni się również kształt odpowiadającego stożka. Ważne jest, aby znać różnice w równaniach, aby pomóc szybko zidentyfikować rodzaj stożka, który jest reprezentowany przez dane równanie.
Jeśli B 2 − 4 A C jest mniejsze od zera, jeśli istnieje stożek, będzie to albo okrąg, albo elipsa.
Jeśli B 2 − 4 A C jest równe zeru, jeśli istnieje stożek, będzie to parabola.,
Jeśli B 2 − 4 A C jest większe od zera, jeśli istnieje stożek, będzie to hiperbola.
standardowe formy równań odcinków stożkowych:
rozwiązywanie układów równań
musisz być zaznajomiony z rozwiązywaniem układów równań liniowych . Geometrycznie daje punkt (- Y) przecięcia dwóch lub więcej linii prostych. W podobny sposób rozwiązania układu równań kwadratowych dałyby punkty przecięcia dwóch lub więcej stożków.
algebraicznie układ równań kwadratowych można rozwiązać poprzez eliminację lub podstawienie, tak jak w przypadku układów liniowych.,
przykład:
Rozwiąż układ równań.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
współczynnik X 2 jest taki sam dla obu równań. Odejmij więc drugie równanie od pierwszego, aby wyeliminować zmienną x . Otrzymujesz:
3 y 2 = 7
rozwiązanie dla y :
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
Użyj wartości y do oceny x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
dlatego roztwory są ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) oraz ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
teraz spójrzmy na to z geometrycznego punktu widzenia.
jeśli podzielisz obie strony pierwszego równania x 2 + 4 y 2 = 16 przez 16 otrzymasz x 2 16 + y 2 4 = 1 . Oznacza to, że jest to elipsa wyśrodkowana na początku z osią główną 4 i osią mniejszą 2 . Drugie równanie jest okręgiem wyśrodkowanym na początku i ma promień 3 . Okrąg i elipsa spotykają się w czterech różnych punktach, jak pokazano.