pochodne funkcji trygonometrycznych
zanim zaczniemy uczyć się, jak przyjmować pochodne funkcji trygonometrycznych, może wrócimy do podstaw? Powrót i przegląd podstaw jest zawsze dobrą rzeczą. Dzieje się tak dlatego, że wiele osób zapomina o właściwościach funkcji trygonometrycznych. Ponadto, zapominanie pewnych właściwości Tryg, tożsamości i zasad Tryg uczyniłoby pewne pytania w rachunku jeszcze trudniejsze do rozwiązania., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Jeśli mamy wykres funkcji, otrzymamy:
zwróć uwagę na wartości XXX przy X=π2±nn,n∈IX = \frac{\pi}{2} \pm \Pi n, n \in IX=2π±nn,n∈i są nieokreślone i mają asymptoty pionowe. Oznacza to, że pochodna tanx\tan xtanx nie będzie różniczkowalna w tych punktach., Ciekawostką jest to, że nachylenie tanx\tan xtanx nigdy nie jest ujemne lub 0. Stąd powinniśmy oczekiwać, że pochodna tanx\tan xtanx będzie zawsze dodatnia.
teraz następna funkcja to f(x)=secxf(x) = \sec xf(X)=secx, który jest odwrotnością cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
tożsamości trygonometryczne
pierwsze sześć tożsamości to tożsamości wzajemne, które przydają się, gdy chcemy mieć swoje pochodne w określonej formie.
teraz najważniejsze tożsamości to te trzy.
są one bardzo przydatne, jeśli chodzi o upraszczanie pochodnych., Teraz, gdy mamy już podstawy, przejdźmy do rzeczy i przyjrzyjmy się pochodnej funkcji Tryg.
pochodne funkcji Tryg
sześć pochodnych funkcji Tryg są następujące:
1. Pochodna sinx to:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Pochodna cotx x\cot xcotx to:
Jeśli naprawdę chcesz wiedzieć, w jaki sposób otrzymujemy pochodne, to spójrz na ten artykuł poniżej:
pochodna funkcji Tryg odwrotnych
artykuł pokazuje, że pochodna sin i cosinus można znaleźć za pomocą definicji pochodnej, a resztę można znaleźć za pomocą reguły ilorazowej. Upewnij się, że dobrze zapamiętałeś te pochodne!, Będziemy ich używać do uzyskiwania jeszcze trudniejszych funkcji trygonometrycznych. Możesz również zapoznać się z regułą łańcucha, ponieważ wiele pochodnych Trig hard wymaga tego.
Pochodna grzechu^2x
możemy wiedzieć, że pochodna grzechu to cosx\cos xcosx, ale co z pochodną grzechu2x\sin^{2} xsin2x? Zacznijmy od zdefiniowania funkcji
przesuńmy kwadrat tak, aby funkcja stała się:
użyjemy tutaj reguły łańcucha. Przypomnijmy, że reguła łańcuchowa określa, jeśli masz funkcję wewnątrz funkcji, nazwij ją
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
i tak pochodna funkcji f(x) będzie:
która jest pochodną sin2x \ sin^{2} xsin2x. to nie było tak trudne, jak myśleliśmy! Przyjrzyjmy się bliżej.
Pochodna cos^2x
znowu wiemy, że pochodna cosinus to −sinx- \sin x−sinx, ale co z pochodną cos2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Niemniej jednak, jest to pochodna cos2x \ cos^{2} xcos2x. spróbujmy znaleźć pochodną innej kwadratowej funkcji trygonometrycznej.
Pochodna sec^2x
ponownie, kluczową ideą pobierania pochodnej sec^2x\Sec ^ {2} xsec2x jest użycie reguły łańcuchowej. Definiujemy funkcję jako
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Pochodna sinx^2
teraz, zanim się pomylisz, jest to funkcja, która wygląda podobnie do sin2x\sin^{2} xsin2x.jednak sin2x\sin^{2} xsin2x różni się od sinx2\sin x^{2}sinx2. Więc oczywiście będzie też inaczej. Definiujemy funkcję jako:
zauważ, że użyjemy tutaj reguły łańcucha., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
ten jest nieco trudniejszy, ponieważ pochodna wydaje się mieć dwa kwadraty; jeden z sekantu i jeden z x. na koniec spójrzmy na pochodną cscx2 \ csc x^{2} cscx2.
Pochodna cscx^2
Mamy funkcję:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
używając formuły reguły łańcucha, otrzymujemy, że pochodna cscx2\csc x^{2}cscx2 wynosi:
ponownie, proces bierze pochodną secx2\sec x^{2}secx2 i cotx2\cot X^{2}cotx2 będzie również taki sam. Jeśli chcesz spojrzeć na więcej pytań dotyczących wyprowadzania funkcji trygonometrycznych, proponuję spojrzeć na ten link.,
teraz czas ruszyć dalej i przyjrzeć się kilku pytaniom, które mają zastosowanie do nachylenia funkcji.
nachylenie funkcji trygonometrycznej
Załóżmy, że chcemy znaleźć nachylenie funkcji:
w punkcie x=0. Jak to zrobimy? Cóż, zdajmy sobie sprawę, że nachylenie funkcji jest takie samo jak wzięcie pochodnej. Będzie to wymagało użycia reguły ilorazu, ponieważ funkcja jest ilorazem.,
przypomnij sobie, że reguła ilorazowa mówi, co następuje:
Jeśli masz funkcję
wtedy pochodną tej funkcji będzie:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Stąd
zatem nachylenie funkcji w punkcie x = 0 wynosi dokładnie 12 \ frac{1} {2} 21. Co jednak, jeśli dano nam nachylenie styczne funkcji w określonym punkcie i musimy znaleźć ten punkt?
znajdowanie punktów podanego nachylenia
Załóżmy, że otrzymujesz, że funkcja jest:
i chcesz znaleźć zbiór punktów, których nachylenie linii stycznej jest równe 0. Oznacza to, że musimy wziąć pochodną i ustawić ją równą 0, aby znaleźć wartości x. Zauważ, że pochodna tan tant\tantan jest sec2 \ Sec^{2} sec2, a pochodna cotcot cot \ cotcot jest-csc2 \ csc^{2} csc2, więc
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
możemy rzeczywiście wyizolować sin2\sin^{2}sin2 sam w sobie w równaniu tak, że:
Podstawienie tego do naszego równania daje:
teraz musimy spojrzeć na przypadek dodatni, a następnie na przypadek ujemny., Dla przypadku dodatniego mamy:
zobacz, że ponieważ x nie jest ograniczony, to było nieskończenie wiele rozwiązań. W rzeczywistości wiemy, że rozwiązania są:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
teraz spójrzmy na cztery rozwiązania jako całość. Zauważ, że dwie pary są takie same
więc możemy po prostu wykluczyć dwa rozwiązania i powiedzieć, że rozwiązania są
możemy więc wnioskować, że są to zbiory punktów, w których nachylenie funkcji jest równe 0.
pochodna funkcji trygonometrycznych odwrotnych
teraz pochodna funkcji trygonometrycznych odwrotnych jest trochę brzydsza do zapamiętania. Zauważ, że mamy tendencję do używania przedrostka ” arc ” zamiast mocy -1, aby nie pomylić ich z wzajemnymi funkcjami Tryg. Bez względu na to, mają na myśli to samo. Na przykład pochodna arctana jest taka sama jak pochodna tan-1\tan^{-1} tan-1.,
oto odwrotne pochodne Tryg, które musisz znać.
zauważ, że pochodna arctan jest podobna do pochodnej arccot, z tym, że dodatkowy znak ujemny. Przypadkowo widzimy, że pochodna arcsin jest podobna do pochodnej arccos. Różnica znowu jest znakiem ujemnym. Nie będziemy tutaj robić żadnych przykładów pochodnych funkcji Tryg odwrotnych., Jeśli jednak jesteś zainteresowany, zajrzyj do tego artykułu tutaj:
pochodna funkcji Tryg odwrotnych
artykuł tutaj zawiera szczegółowe rozwiązanie krok po kroku w wyprowadzaniu tych pochodnych.