een kegelsnede is het snijpunt van een vlak en een dubbele rechte cirkelvormige kegel . Door de hoek en de locatie van de kruising te veranderen, kunnen we verschillende soorten kegelsneden produceren. Er zijn vier basistypen: cirkels , ellipsen, hyperbolen en parabolen . Geen van de kruispunten gaat door de hoekpunten van de kegel.
als de rechter cirkelvormige kegel wordt gesneden door een vlak loodrecht op de as van de kegel, is het snijpunt een cirkel., Als het vlak een van de stukken van de kegel en zijn as snijdt, maar niet loodrecht op de as staat, zal het snijpunt een ellips zijn. Om een parabool te genereren, moet het snijvlak evenwijdig zijn aan één kant van de kegel en moet het een stuk van de dubbele kegel snijden. En tot slot, om een hyperbool te genereren snijdt het vlak beide stukken van de kegel. Hiervoor moet de helling van het snijvlak groter zijn dan die van de kegel.,
de algemene vergelijking voor elke kegelsnede is
A x 2 + B X y + C y 2 + D x + E y + F = 0 waarbij A , B , C , D, E en F constanten zijn.
naarmate we de waarden van sommige constanten veranderen, zal ook de vorm van de corresponderende kegelsnede veranderen. Het is belangrijk om de verschillen in de vergelijkingen te kennen om snel het type kegelsnede te identificeren dat door een gegeven vergelijking wordt vertegenwoordigd.
Als B 2-4 A C kleiner is dan nul, als er een kegelsnede bestaat, zal het een cirkel of een ellips zijn.
Als B 2-4 A C gelijk is aan nul, als er een kegelsnede bestaat, zal het een parabool zijn.,
Als B 2-4 A C groter is dan nul, als er een kegelsnede bestaat, zal het een hyperbool zijn.
standaardvormen van vergelijkingen van kegelsneden:
Oplossingssystemen van vergelijkingen
u moet bekend zijn met het oplossingssysteem van lineaire vergelijkingen . Geometrisch geeft het het snijpunt (s) van twee of meer rechte lijnen. Op dezelfde manier zouden de oplossingen van het systeem van kwadratische vergelijkingen De snijpunten van twee of meer kegelsneden geven.
algebraïsch kan een systeem van kwadratische vergelijkingen worden opgelost door eliminatie of substitutie, net als in het geval van lineaire systemen.,
voorbeeld:
los het stelsel van vergelijkingen op.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
De coëfficiënt van x 2 is hetzelfde voor beide vergelijkingen. Dus, trek de tweede vergelijking van de eerste af om de variabele x te elimineren . U krijgt:
3 y 2 = 7
oplossen voor y :
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
gebruik de waarde van y om x te evalueren .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
daarom zijn de oplossingen( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) en ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
laten we het nu vanuit een geometrisch oogpunt bekijken.
als je beide zijden van de eerste vergelijking deelt x 2 + 4 y 2 = 16 door 16 krijg je x 2 16 + y 2 4 = 1 . Dat wil zeggen, het is een ellips gecentreerd bij Oorsprong met hoofdas 4 en kleine as 2 . De tweede vergelijking is een cirkel gecentreerd bij oorsprong en heeft een straal 3 . De cirkel en de ellips ontmoeten elkaar op vier verschillende punten zoals afgebeeld.