afgeleide van trigonometrische functies
voordat we beginnen te leren hoe we afgeleide van trigonometrische functies moeten nemen, waarom gaan we niet terug naar de basis? Teruggaan en de basis opnieuw bekijken is altijd een goede zaak. Dit komt omdat veel mensen de neiging hebben om de eigenschappen van trigonometrische functies te vergeten. Bovendien, het vergeten van bepaalde trig eigenschappen, identiteiten, en trig regels zou bepaalde vragen in Calculus nog moeilijker op te lossen., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Als we de grafiek van de functie, dan krijgen we:
let op de xxx-waarden bij x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \in de Ix=2π±nn,n∈I, zijn niet gedefinieerd, en heeft verticale asymptoten. Dit betekent dat de afgeleide van tanx\tan xtanx niet differentieerbaar zal zijn op die punten., Een interessant ding om hier op te merken is dat de helling van tanx\tan xtanx nooit negatief of 0 is. Daarom moeten we verwachten dat de afgeleide van tanx\tan xtanx altijd positief is.
nu is de volgende functie f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, die is het omgekeerde van cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
trigonometrische identiteiten
De eerste zes identiteiten zijn Wederzijdse identiteiten, die van pas komen wanneer u uw derivaten in een bepaalde vorm wilt hebben.
De belangrijkste identiteiten zijn deze drie.
ze zijn zeer nuttig als het gaat om het vereenvoudigen van derivaten., Nu we de basis hebben, gaan we verder en kijken we naar de afgeleide van trig functies.
Trig-derivaten
de zes trig-functiederivaten zijn als volgt:
1. Het derivaat van Sinxx\sin xsinx is:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., De afgeleide van kinderbedjex\kinderbedje xcotx is:
Als je echt wilt weten hoe krijgen we de derivaten, kijk dan bij dit artikel hieronder:
de Afgeleide van de inverse trigonometrische functies
Het artikel laat zien dat de afgeleide van sin en cosinus kan gevonden worden met behulp van de definitie van de afgeleide, en de rest kan gevonden worden met het quotient regel. Zorg ervoor dat u deze derivaten goed onthouden!, We zullen deze gebruiken om nog hardere trigonometrische functies af te leiden. U kunt ook de kettingregel herzien aangezien veel harde trig derivaten het vereisen.
afgeleide van sin^2x
we weten misschien dat de afgeleide van sin cosx\cos xcosx is, maar hoe zit het met de afgeleide van sin2x\sin^{2} xsin2x? Laten we beginnen met het definiëren van de functie
verplaats de vierkante term zodat de functie wordt:
We gaan hier de kettingregel gebruiken. Bedenk dat de kettingregel zegt dat als je een functie binnen een functie hebt, noem het
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
en dus zal de afgeleide van de functie f(x) zijn:
wat de afgeleide is van sin2x\sin^{2} xsin2x. het was niet zo moeilijk als we dachten! Laten we eens rond kijken.
afgeleide van cos^2x
opnieuw weten we dat de afgeleide van cosinus −sinx- \sin x−sinx is, maar hoe zit het met de afgeleide van cos2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Toch is dit de afgeleide van cos2x\cos^{2} xcos2x. laten we proberen de afgeleide van een andere kwadraat trigonometrische functie te vinden.
afgeleide van sec^2x
nogmaals, het belangrijkste idee van het nemen van de afgeleide van sec 2 2x\sec^{2} xsec2x is het gebruik van de kettingregel. We definiëren de functie als
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
afgeleide van sinx^2
voordat u verward raakt, is dit een functie die lijkt op sin2x\sin^{2} xsin2x. echter, sin2x\sin^{2} xsin2x is anders dan sinx2\sin x^{2}sinx2. Dus natuurlijk zullen er ook andere derivaten zijn. We definiëren de functie als:
merk op dat we hier de kettingregel zullen gebruiken., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Deze is iets moeilijker omdat de afgeleide twee kwadraten lijkt te hebben; een van secant en een van x. Laten we tenslotte eens kijken naar de afgeleide van cscx2\csc x^{2}cscx2.
afgeleide van cscx^2
De functie die we hebben is:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
met behulp van de ketenregelformule krijgen we dat de afgeleide van cscx2\CSC x^{2}cscx2 is:
nogmaals, het proces in neem de afgeleide van secx2\sec x^{2}secx2 en cotx2\cot x^{2}cotx2 zal ook hetzelfde zijn. Als je naar meer vragen wilt kijken over het afleiden van trigonometrische functies, dan stel ik voor dat je naar deze link kijkt.,
nu is het tijd om verder te gaan en een kijkje te nemen op een aantal vragen die toepassingen hebben op de helling van een functie.
helling van een goniometrische functie
stel dat we de helling van de functie willen vinden:
op het punt x = 0. Hoe zouden we het doen? Nou, realiseer je nemen vind de helling van een functie is net hetzelfde als het nemen van de afgeleide. Dit vereist het gebruik van de quotiëntregel aangezien de functie een quotiënt is.,
bedenk dat de quotiëntregel het volgende zegt:
Als u een functie
dan zal de afgeleide van deze functie zijn:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Vandaar dat
De Helling van de functie op het punt x = 0 is dus precies 12 \ frac{1}{2}21. Maar wat als we de raakhelling van een functie op een specifiek punt krijgen, en we dat punt moeten vinden?
het vinden van de punten gegeven de helling
stel dat u wordt gegeven dat de functie is:
en u wilt de verzameling punten vinden waarvan de helling van de raaklijn gelijk is aan 0. Dit betekent dat we de afgeleide moeten nemen en deze gelijk moeten stellen aan 0 om de x-waarden te vinden. Merk op dat de afgeleide van tan\tantan sec 2 2\sec^{2}sec2 is en de afgeleide van cot cot \ cotcot is-csc2\csc^{2}csc2, dus
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
We kunnen eigenlijk Sin2\sin^{2}sin2 zelf isoleren in de vergelijking, zodat:
dit in onze vergelijking vervangen geeft:
nu moeten we kijken naar het positieve geval en dan het negatieve geval., Voor het positieve geval hebben we:
zie dat aangezien x niet begrensd is, dan zijn er oneindig veel oplossingen. In feite weten we dat de oplossingen zijn:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
laten we nu eens kijken naar de vier oplossingen als geheel. Merk op dat de twee paren hetzelfde zijn
dus we kunnen de twee oplossingen uitsluiten en zeggen dat de oplossingen
dus we kunnen concluderen dat dit de verzameling punten zijn waarin de helling van de functie gelijk is aan 0.
afgeleide van Inverse trigonometrische functies
nu is de afgeleide van inverse trigonometrische functies iets lelijker om te onthouden. Merk op dat we de neiging hebben om het voorvoegsel “arc” te gebruiken in plaats van de macht van -1 zodat ze niet verward raken met wederkerige trig functies. Hoe dan ook, ze betekenen hetzelfde. De afgeleide van arctan is bijvoorbeeld hetzelfde als de afgeleide van tan-1\tan^{-1}tan-1.,
Hier zijn de inverse trig derivaten die u moet weten.
merk op dat de arctan-afgeleide gelijk is aan de afgeleide van arccot, behalve dat er een extra negatief teken is. Toevallig zien we dat de afgeleide van arcsin vergelijkbaar is met de afgeleide van arccos. Het verschil is weer het negatieve teken. We zullen hier geen voorbeelden van afgeleide van inverse trig functies doen., Als u echter geïnteresseerd bent, kijk dan naar dit artikel hier:
afgeleide van inverse trig functies
Het artikel hier geeft een gedetailleerde stap-voor-stap oplossing in het afleiden van deze derivaten.