Deriverte av trigonometriske funksjoner
Før vi begynne å lære hvordan å ta deriverte av trigonometriske funksjoner, hvorfor kan ikke vi gå tilbake til det grunnleggende? Gå tilbake og gå gjennom det grunnleggende er alltid en god ting. Dette er fordi mange mennesker har en tendens til å glemme de egenskaper av trigonometriske funksjoner. I tillegg, glemmer visse trigonometriske egenskaper, identiteter, og trigonometri regler ville gjøre visse spørsmål i Kalkulus enda mer vanskelig å løse., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Hvis vi skulle tegne en graf av funksjonen, vil vi få:
Merke xxx-verdier på x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \i Ix=2π±nn,n∈jeg er udefinert, og har vertikale asymptoter. Dette betyr at den deriverte av tanx\tan xtanx vil ikke være differensiable på disse punktene., En interessant ting å merke seg her er at skråningen av tanx\tan xtanx er aldri negativ eller 0. Derfor bør vi forvente av derivat av tanx\tan xtanx å alltid være positiv.
Nå den neste funksjonen er f(x)=sekxf(x) = \sek xf(x)=secx, som er den gjensidige til cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
Trigonometriske identiteter
De første seks identiteter er gjensidige identiteter, som kommer i hendig når du ønsker din derivater i en viss form.
Nå er det mest viktig identiteter er disse tre.
De er veldig nyttige når det gjelder å forenkle derivater., Nå som vi har fått det grunnleggende ned, la oss gå videre og faktisk ta en titt på den deriverte av trigonometriske funksjoner.
derivater Trig
seks trigonometriske funksjonen derivater er som følger:
1. Den deriverte av syndx\synd xsinx er:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Den deriverte av barnesengx\barneseng xcotx er:
Hvis du virkelig ønsker å vite hvordan vi kan få derivater, så se på denne artikkelen nedenfor:
Derivater av inverse trig funksjoner
artikkelen viser at den deriverte av synd og cosinus kan bli funnet ved å bruke definisjonen av derivat, og resten kan bli funnet med kvotienten regelen. Sørg for at du huske disse derivater godt!, Vi vil bruke disse til å få enda hardere trigonometriske funksjoner. Du kan også være lurt å gå gjennom kjeden regelen siden en mye hardt derivater trig krever det.
Derivat av sin^2
kan Vi vite at den deriverte av synd, er cosx\cos xcosx, men hva om den deriverte av synd2x\synd^{2} xsin2x? La oss starte med å definere funksjonen
La oss flytte plassen sikt, slik at funksjonen blir:
Vi kommer til å bruke kjede regelen her. Husker at kjeden regel stater, hvis du har en funksjon i en funksjon, kall det
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Og så den deriverte av funksjonen f(x) vil være:
Som er avledet av synd2x\synd^{2} xsin2x. Det var ikke så vanskelig som vi trodde! La oss se på rundt vanskelig.
Derivat av cos^2x
Igjen, vet vi at den deriverte av cosinus-er −syndx- \sin x−sinx, men hva om den deriverte av cos2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Likevel, dette er den deriverte av cos2x\cos^{2} xcos2x. La oss prøve å finne den deriverte av annen squared trigonometriske funksjonen.
Derivat av sek^2x
Igjen, den viktigste tanken på å ta den deriverte av sek2x\sek^{2} xsec2x er med i kjeden regelen. Vi definerer funksjonen til å være
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Derivat av sinx^2
Nå før du blir forvirret, dette er en funksjon som ser ut til å synde2x\synd^{2} xsin2x. Men, synd2x\synd^{2} xsin2x er forskjellig fra syndx2\synd x^{2}sinx2. Så selvfølgelig, det derivater vil også være forskjellige. Vi definerer funksjonen til å være:
Merk at vi vil bruke kjeden regelen her., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Dette er litt vanskeligere fordi det avledede ser ut til å ha to felt, ett fra sekant og en fra x. Til slutt, la oss se på den deriverte av cscx2\csc x^{2}cscx2.
Derivat av cscx^2
Den funksjonen vi har er:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
ved Hjelp av kjeden regel formelen, får vi at den deriverte av cscx2\csc x^{2}cscx2 er:
Igjen, prosessen ta den deriverte av sekx2\sek x^{2}secx2and barnesengx2\cot x^{2}cotx2 vil også være den samme. Hvis du ønsker å se på flere spørsmål av stammer trigonometriske funksjoner, så foreslår jeg at du tar en titt på denne linken.,
Nå er det på tide å flytte på og ta en titt på noen spørsmål som har programmer for å skråningen av en funksjon.
Skråningen av en trigonometriske funksjonen
la oss Anta at vi ønsker å finne stigningstallet til funksjonen:
I punktet x=0. Hvordan skulle vi gjøre det? Vel, innser tar finne stigningstallet til en funksjon er akkurat det samme som å ta den deriverte. Dette vil kreve at du bruker kvotienten regelen siden funksjonen er en kvotient.,
Husker at kvotienten regelen sier følgende:
Hvis du har en funksjon
Da den deriverte av denne funksjonen vil være:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Derfor,
Derfor, stigningstallet til funksjonen i punktet x = 0 er nøyaktig 12\frac{1}{2}21. Men, hva hvis vi fikk tangent skråningen av en funksjon i et bestemt punkt, og vi trenger å finne det punktet?
Finn poeng gitt skråningen
Tenk deg at du er gitt at funksjonen er:
Og du vil finne et sett med punkter som stigningstallet til tangenten linje er lik 0. Dette betyr at vi trenger å ta den deriverte og setter den lik 0 for å finne x-verdier. Vær oppmerksom på at den deriverte av tan\tantan er sek2\sek^{2}sec2 og derivat av barneseng\cotcot er –csc2\csc^{2}csc2, så
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Vi kan faktisk isolere synd2\synd^{2}sin2 av seg selv i ligningen, så som:
Erstatter dette inn i våre likningen gir:
Nå må vi se på de positive saken og den negative tilfelle., For den positive tilfelle har vi:
Se at siden x er ikke avgrenset, så ble det finnes uendelig mange løsninger. Vi vet faktisk løsningene er:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
la oss Nå ta en titt på de fire løsninger som helhet. Legg merke til at to par er den samme
Så vi kan bare utelate de to løsningene og si at løsningene er
Så vi kan konkludere med at dette er et sett med punkter som stigningstallet til funksjonen er lik 0.
Derivater av Inverse Trigonometriske Funksjoner
Nå Derivater av inverse trig funksjoner er litt styggere å huske. Merk at vi har en tendens til å bruke prefikset «bue» i stedet for kraft -1, slik at de ikke blir forvirret med gjensidige trigonometriske funksjoner. Uansett, de betyr det samme. For eksempel, derivat av arctan er den samme som den deriverte av tan-1\tan^{-1}tan−1.,
Her er de inverse trigonometriske derivater som du trenger å vite.
Merk at arctan deriverte er lik den deriverte av arccot, bortsett fra at det er en ekstra negativt fortegn. Coincidently, ser vi at den deriverte av arcsin er lik den deriverte av arccos. Forskjellen igjen er negativt fortegn. Vi vil ikke gjøre noen eksempler på Derivater av inverse trig funksjoner her., Men hvis du er interessert, så ta en titt på denne artikkelen her:
Derivater av inverse trig funksjoner
artikkelen her gir en detaljert trinn-for-trinn-løsning i å utlede slike derivater.