Ein konischer Abschnitt ist der Schnittpunkt einer Ebene und eines doppelten rechten Kreiskegels . Durch Ändern des Winkels und der Position des Schnittpunkts können wir verschiedene Arten von Koniken herstellen. Es gibt vier Grundtypen: Kreise , Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln . Keiner der Schnittpunkte wird durch die Eckpunkte des Kegels verlaufen.
Wenn der rechte Kreiskegel durch eine Ebene senkrecht zur Achse des Kegels geschnitten wird, ist der Schnittpunkt ein Kreis., Wenn die Ebene eines der Teile des Kegels und seiner Achse schneidet, aber nicht senkrecht zur Achse steht, ist der Schnittpunkt eine Ellipse. Um eine Parabel zu erzeugen, muss die Schnittebene parallel zu einer Seite des Kegels sein und ein Stück des Doppelkegels schneiden. Und schließlich, um eine Hyperbel zu erzeugen, schneidet die Ebene beide Teile des Kegels. Dazu sollte die Neigung der Schnittebene größer sein als die des Kegels.,
Die Allgemeine Gleichung für jeden konischen Abschnitt ist
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, wo A , B , C , D , E und F sind Konstanten.
Wenn wir die Werte einiger Konstanten ändern, ändert sich auch die Form des entsprechenden Konus. Es ist wichtig, die Unterschiede in den Gleichungen zu kennen, um den konischen Typ, der durch eine bestimmte Gleichung dargestellt wird, schnell zu identifizieren.
Wenn B 2 − 4 A C ist weniger als null, wenn ein Kegelschnitt ist vorhanden, es wird entweder ein Kreis oder eine ellipse.
Wenn B 2 − 4 A C gleich null, wenn eine konische vorhanden ist, wird es eine Parabel.,
Wenn B 2-4 A C größer als Null ist, wenn ein Konik existiert, wird es eine Hyperbel sein.
STANDARDFORMEN VON GLEICHUNGEN VON KONISCHEN ABSCHNITTEN:
Gleichungssysteme lösen
Sie müssen mit dem Lösen des linearen Gleichungssystems vertraut sein . Geometrisch gibt es den Schnittpunkt von zwei oder mehr geraden Linien an. In ähnlicher Weise würden die Lösungen des Systems der quadratischen Gleichungen die Schnittpunkte von zwei oder mehr Koniken ergeben.
Algebraisch kann ein System quadratischer Gleichungen wie bei linearen Systemen durch Elimination oder Substitution gelöst werden.,
Beispiel:
– Lösen Sie das Gleichungssystem.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
Der Koeffizient von x 2 ist die gleiche für beide Gleichungen. Subtrahieren Sie also die zweite Gleichung von der ersten, um die Variable x zu eliminieren . Sie erhalten:
3 y 2 = 7
die Lösung für y :
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
der Wert von y zu bewerten, x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9-7 3 = 20 3 x = ± 20 3
Daher sind die Lösungen( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) und ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
Betrachten wir es nun aus geometrischer Sicht.
Wenn Sie teilen beide Seiten der ersten Gleichung x 2 + 4 y 2 = 16 16 x 2 16 + y 2 4 = 1 . Das heißt, es ist eine Ellipse, die am Ursprung mit der Hauptachse 4 und der Nebenachse 2 zentriert ist . Die zweite Gleichung ist ein Kreis, der am Ursprung zentriert ist und einen Radius 3 hat . Der Kreis und die Ellipse treffen sich an vier verschiedenen Punkten, wie gezeigt.