Una sezione conica è l’intersezione di un piano e di un doppio cono circolare destro . Cambiando l’angolo e la posizione dell’intersezione, possiamo produrre diversi tipi di coniche. Ci sono quattro tipi di base: cerchi, ellissi, iperboli e parabole . Nessuna delle intersezioni passerà attraverso i vertici del cono.
Se il cono circolare destro viene tagliato da un piano perpendicolare all’asse del cono, l’intersezione è un cerchio., Se il piano interseca uno dei pezzi del cono e il suo asse ma non è perpendicolare all’asse, l’intersezione sarà un’ellisse. Per generare una parabola, il piano intersecante deve essere parallelo a un lato del cono e deve intersecare un pezzo del doppio cono. E infine, per generare un’iperbole il piano interseca entrambi i pezzi del cono. Per questo, la pendenza del piano intersecante dovrebbe essere maggiore di quella del cono.,
L’equazione generale per ogni sezione conica è
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E Y + F = 0 dove A , B , C , D , E e F sono costanti.
Mentre cambiamo i valori di alcune costanti, cambierà anche la forma della conica corrispondente. È importante conoscere le differenze nelle equazioni per aiutare a identificare rapidamente il tipo di conica rappresentato da una data equazione.
Se B 2 − 4 A C è inferiore a zero, se esiste una conica, sarà un cerchio o un’ellisse.
Se B 2 − 4 A C è uguale a zero, se esiste una conica, sarà una parabola.,
Se B 2 − 4 A C è maggiore di zero, se esiste una conica, sarà un’iperbole.
FORME STANDARD DI EQUAZIONI DI SEZIONI CONICHE:
Risolvere sistemi di equazioni
È necessario avere familiarità con la risoluzione del sistema di equazioni lineari . Geometricamente dà il punto(s) di intersezione di due o più linee rette. In modo simile, le soluzioni del sistema di equazioni di secondo grado darebbero i punti di intersezione di due o più coniche.
Algebricamente un sistema di equazioni di secondo grado può essere risolto per eliminazione o sostituzione proprio come nel caso dei sistemi lineari.,
Esempio:
Risolvi il sistema di equazioni.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
Il coefficiente di x 2 è lo stesso per entrambe le equazioni. Quindi, sottrarre la seconda equazione dalla prima per eliminare la variabile x . Ottieni:
3 y 2 = 7
Risolvendo per y:
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
Usa il valore di y per valutare x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
Pertanto, le soluzioni sono ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) e ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
Ora, guardiamolo da un punto di vista geometrico.
Se dividi entrambi i lati della prima equazione x 2 + 4 y 2 = 16 per 16 ottieni x 2 16 + y 2 4 = 1 . Cioè, è un’ellisse centrata all’origine con l’asse maggiore 4 e l’asse minore 2 . La seconda equazione è un cerchio centrato all’origine e ha un raggio 3 . Il cerchio e l’ellisse si incontrano in quattro punti diversi come mostrato.