Derivate di funzioni trigonometriche
Prima di iniziare a imparare a prendere derivate di funzioni trigonometriche, perché non torniamo alle basi? Tornare indietro e rivedere le basi è sempre una buona cosa. Questo perché molte persone tendono a dimenticare le proprietà delle funzioni trigonometriche. Inoltre, dimenticare alcune proprietà trigonometriche, identità e regole trigonometriche renderebbe alcune domande nel Calcolo ancora più difficili da risolvere., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Se siamo stati il grafico della funzione, avremo:
si Noti xxx valori in x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \in Ix=2π±nn,n∈io non sono, e sono asintoti verticali. Ciò significa che la derivata di tan x x \ tan xtanx non sarà differenziabile in quei punti., Una cosa interessante da notare qui è che la pendenza di tan x x \ tan xtanx non è mai negativa o 0. Quindi, dovremmo aspettarci che la derivata di tan x x \ tan xtanx sia sempre positiva.
Ora la funzione è f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, che è il reciproco di cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
Identità trigonometriche
Le prime sei identità sono identità reciproche, che sono utili quando si desidera che i derivati in una certa forma.
Ora le identità più importanti sono queste tre.
sono molto utili quando si tratta di semplificare derivati., Ora che abbiamo le basi giù, andiamo avanti e in realtà dare un’occhiata alla derivata di funzioni trigonometriche.
Derivati trigonometrici
I sei derivati delle funzioni trigonometriche sono i seguenti:
1. La derivata di sinx\sin xsinx è:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., La derivata della cullax\culla xcotx è:
Se si vuole veramente sapere come ottenere i derivati, quindi occhiata a questo articolo di seguito:
Derivate delle funzioni trigonometriche inverse
L’articolo mostra che la derivata di seno e coseno può essere trovato utilizzando la definizione di derivata, e il resto può essere trovato con il quoziente regola. Assicurati di memorizzare bene questi derivati!, Useremo questi per ricavare funzioni trigonometriche ancora più difficili. Potresti anche voler rivedere la regola della catena poiché molti derivati hard trig lo richiedono.
Derivata del peccato ^ 2x
Potremmo sapere che la derivata del peccato è cos\x \ cos xcosx, ma per quanto riguarda la derivata del peccato sin 2x\sin^{2} xsin2x? Iniziamo con la definizione della funzione
Spostiamo il termine quadrato in modo che la funzione diventi:
Useremo qui la regola della catena. Ricordiamo che la regola della catena afferma che se hai una funzione all’interno di una funzione, chiamala
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
E così la derivata della funzione f(x) sarà:
Che è la derivata di sin sin 2x\sin^{2} xsin2x. Non è stato così difficile come pensavamo! Diamo un’occhiata al giro duro.
Derivata di cos^2x
Ancora una volta, sappiamo che la derivata del coseno è −sin sin x- \sin x−sinx, ma per quanto riguarda la derivata di cos cos 2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Tuttavia, questa è la derivata di cos\2x \ cos ^ {2} xcos2x. Proviamo a trovare la derivata di un’altra funzione trigonometrica quadrata.
Derivata di sec^2x
Ancora una volta, l’idea chiave di prendere la derivata di sec sec 2x\sec^{2} xsec2x sta usando la regola della catena. Definiamo la funzione come
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Derivata di sinx^2
Ora, prima di confondervi, questa è una funzione simile a sin sin 2x\sin^{2} xsin2x. Tuttavia, sin sin 2x\sin^{2} xsin2x è diversa da sin sin x2\sin x^{2}sinx2. Quindi, naturalmente, anche i derivati saranno diversi. Definiamo la funzione come:
Si noti che useremo la regola della catena qui., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Questo è un po ‘ più difficile perché la derivata sembra avere due quadrati; uno da secante e uno da x. Infine, diamo un’occhiata alla derivata di csc x x2\csc x^{2}cscx2.
Derivata di cscx^2
La funzione che abbiamo è:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Utilizzando la catena regola formula, otteniamo che la derivata di cscx2\csc x^{2}cscx2 è:
Ancora una volta, il processo in prendere la derivata di sec sec x2\sec x^{2}secx2 e cot cot x2\cot x^{2}cotx2 sarà anche lo stesso. Se vuoi guardare altre domande sulla derivazione delle funzioni trigonometriche, allora ti suggerisco di guardare questo link.,
Ora è il momento di andare avanti e dare un’occhiata ad alcune domande che hanno applicazioni alla pendenza di una funzione.
Pendenza di una funzione trigonometrica
Supponiamo di voler trovare la pendenza della funzione:
Al punto x=0. Come faremmo? Bene, realizzare take find la pendenza di una funzione è la stessa di prendere la derivata. Ciò richiederà l’utilizzo della regola del quoziente poiché la funzione è un quoziente.,
Ricorda che la regola del quoziente dice quanto segue:
Se hai una funzione
Quindi la derivata di questa funzione sarà:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Quindi,
Quindi, la pendenza della funzione nel punto x = 0 è esattamente 12\frac{1}{2}21. Tuttavia, cosa succede se ci viene data la pendenza tangente di una funzione in un punto specifico e dobbiamo trovare quel punto?
Trovare i punti data la pendenza
Supponiamo che si è dato che la funzione è:
E si desidera trovare l’insieme di punti che la pendenza della linea tangente è uguale a 0. Ciò significa che dobbiamo prendere la derivata e impostarla uguale a 0 per trovare i valori x. Si noti che la derivata di tan\ \ tantan è sec sec 2 \ sec ^ {2} sec2 e la derivata di cot cot \ cotcot è-csc cs 2 \ csc ^ {2} csc2, quindi
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Possiamo effettivamente isolare sin sin 2\sin^{2}sin2 da solo nell’equazione in modo che:
Sostituendo questo nella nostra equazione si ottiene:
Ora dobbiamo guardare il caso positivo e poi il caso negativo., Per il caso positivo abbiamo:
Vedi che poiché x non è limitato, allora sono infinite soluzioni. In effetti, sappiamo che le soluzioni sono:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
Ora diamo un’occhiata alle quattro soluzioni nel loro complesso. Si noti che le due coppie sono uguali
Quindi possiamo semplicemente escludere le due soluzioni e dire che le soluzioni sono
Quindi possiamo concludere che questi sono l’insieme di punti in cui la pendenza della funzione è uguale a 0.
Derivata delle funzioni trigonometriche inverse
Ora le Derivate delle funzioni trigonometriche inverse sono un po ‘ più brutte da memorizzare. Si noti che tendiamo a usare il prefisso ” arc ” invece della potenza di -1 in modo che non si confondano con le funzioni trigonometriche reciproche. Indipendentemente da ciò, significano la stessa cosa. Ad esempio, la derivata di arctan è la stessa della derivata di tan-1\tan^{-1}tan−1.,
Ecco le derivate trigonometriche inverse che dovrai conoscere.
si noti che il arctan derivati è simile al derivato di arccot, tranne che c’è un ulteriore segno negativo. Per coincidenza, vediamo che la derivata di arcsin è simile alla derivata di arccos. La differenza di nuovo è il segno negativo. Non faremo alcun esempio di derivata di funzioni trigonometriche inverse qui., Tuttavia, se sei interessato, guarda questo articolo qui:
Derivata delle funzioni trigonometriche inverse
L’articolo qui fornisce una soluzione dettagliata passo-passo nel derivare queste derivate.