Trig függvények származéka
mielőtt elkezdenénk megtanulni, hogyan kell a trig függvények származékait venni, miért nem térünk vissza az alapokhoz? Az alapok áttekintése mindig jó dolog. Ez azért van, mert sok ember hajlamos elfelejteni a trigonometrikus funkciók tulajdonságait. Emellett bizonyos trig-tulajdonságok, identitások és trig-szabályok elfelejtése még nehezebbé tenné a kalkulus egyes kérdéseinek megoldását., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Ha grafikon a funkció, mi lesz:
Figyeljük meg a xxx értékek x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \a Ix=2π±nn,n∈én nem definiált, illetve függőleges között kell megadni. Ez azt jelenti, hogy a tanx\tan xtanx származéka nem lesz megkülönböztethető ezeken a pontokon., Egy érdekes dolog, amit itt meg kell jegyezni, hogy a tanx \ tan xtanx lejtése soha nem negatív vagy 0. Ezért elvárjuk, hogy a tanx \ tan xtanx származéka mindig pozitív legyen.
most a következő függvény f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, ami a cosx\cos xcosx reciproka., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
trigonometrikus identitások
az első hat identitás kölcsönös identitás, amely akkor hasznos, ha a származékokat egy bizonyos formában szeretné.
most a legfontosabb identitások ezek a három.
nagyon hasznosak a származékok egyszerűsítésekor., Most, hogy már megvan az alapokat le, menjünk előre, és valójában vessen egy pillantást a származéka trig funkciók.
Trig származékok
a hat trig függvényszármazék a következő:
1. A sinx \ sin xsinx származéka:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., A származéka gyerekágyx\gyerekágy xcotx van:
Ha tényleg tudni akarod, hogy hogyan jutunk a-származékok, akkor nézd meg ezt a cikket az alábbi:
Származéka inverz trigonometrikus függvények
A cikk azt mutatja, hogy a származékos, a bűn, koszinusz megtalálhatók a meghatározás, a származékos, a többi megtalálható a hányados szabály. Győződjön meg róla, hogy jól memorizálja ezeket a származékokat!, Ezeket még nehezebb trigonometrikus függvények levezetésére fogjuk használni. Érdemes lehet felülvizsgálni a láncszabályt is, mivel sok kemény trig származék megköveteli.
A bűn származéka^2x
tudjuk, hogy a bűn származéka cosx \ cos xcosx, de mi a helyzet a sin2x\sin^{2} xsin2x származékával? Kezdjük a
mozgassuk a négyzet kifejezést úgy, hogy a funkció:
itt fogjuk használni a láncszabályt. Emlékezzünk vissza, hogy a láncszabály kimondja, ha van egy függvény egy függvényen belül, akkor hívja
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
és így az f(x) függvény deriváltja:
ami a bűn származéka2x \ sin^{2} xsin2x. nem volt olyan nehéz, mint gondoltuk! Nézzünk körül keményen.
A cos^2x
származéka ismét tudjuk, hogy a koszinusz származéka-sinx – \ sin x-sinx, de mi a helyzet a cos2x\cos^{2} xcos2x származékával?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Mindazonáltal ez a cos2x\cos^{2} xcos2x származéka.próbáljuk megtalálni egy másik négyzet alakú trigonometrikus függvény származékát.
A sec^2x
származéka ismét a sec2x\sec^{2} xsec2x származékának a láncszabályt használja. A függvényt
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
A sinx^2
származéka most, mielőtt összezavarodna, ez egy olyan funkció, amely hasonlít a sin2x\sin^{2} xsin2x. azonban a sin2x\sin^{2} xsin2x különbözik a sinx2\sin x^{2}sinx2-től. Tehát természetesen a származékok is eltérőek lesznek. A következő függvényt definiáljuk:
vegye figyelembe, hogy itt fogjuk használni a láncszabályt., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Ez egy kicsit nehezebb, mert a származékos úgy tűnik, hogy két négyzet; az egyik a szekánsát egy x-ből. Végül, nézzük meg a származéka cscx2\csc x^{2}cscx2.
A cscx^2
származéka a függvényünk:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
a láncszabály képlet segítségével megkapjuk, hogy a cscx2\csc x^{2}cscx2 származéka:
ábra > 7.egyenlet: a CSC^2 pt származéka.4 ismét a secx2\sec x^{2}secx2és cotx2\cot x^{2}cotx2 származéka is ugyanaz lesz. Ha több kérdést szeretne megvizsgálni a trigonometrikus funkciók kiváltásáról, akkor azt javaslom, hogy nézze meg ezt a linket.,
most itt az ideje lépni, és vessen egy pillantást néhány kérdésre, amelyek alkalmazások a lejtőn egy függvény.
trigonometrikus függvény meredeksége
tegyük fel, hogy meg akarjuk találni a függvény lejtését:
Az x=0 pontban. Hogy csináljuk? Nos, vegye észre, hogy egy függvény lejtése ugyanaz, mint a származék felvétele. Ez megköveteli a hányados szabály használatát, mivel a funkció hányados.,
emlékezzünk arra, hogy a hányados szabály a következőket mondja:
ha van egy függvénye
akkor ennek a függvénynek a származéka a következő lesz:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Ezért
így a függvény lejtése az x = 0 pontban pontosan 12 \ frac{1}{2}21. De mi van, ha egy adott ponton megkapjuk egy függvény érintőleges lejtését, és meg kell találnunk azt a pontot?
A
lejtőn megadott pontok meghatározása tegyük fel, hogy a függvény a következő:
és meg szeretné találni azokat a pontokat, amelyek a tangens vonal lejtése 0. Ez azt jelenti, hogy a származékot 0-ra kell állítanunk, hogy megtaláljuk az x értékeket. Vegye figyelembe, hogy a tan \ tantan származéka a sec2\sec^{2}sec2 és a cotot\cotcot származéka-csc2 \ csc^{2}csc2, tehát
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
valójában elkülöníthetjük a sin2\sin^{2}sin2-t önmagában az egyenletben úgy, hogy:
helyettesítve ezt az egyenletünkbe ad:
most meg kell vizsgálnunk a pozitív esetet, majd a negatív esetet., A pozitív esetben van:
lásd, hogy mivel x nincs határolva, akkor végtelenül sok megoldás. Valójában tudjuk, hogy a megoldások a következők:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
most vessünk egy pillantást a négy megoldás egészére. Vegye figyelembe, hogy a két pár azonos
tehát kizárhatjuk a két megoldást, és azt mondhatjuk, hogy a megoldások
így arra a következtetésre juthatunk, hogy ezek azok a pontok, amelyekben a függvény lejtése 0.
az inverz trigonometrikus függvények deriváltja
most az inverz trig függvények deriváltja kissé rondább a memorizáláshoz. Ne feledje, hogy hajlamosak vagyunk az “ív” előtagot használni a -1 ereje helyett, hogy ne keveredjenek össze a kölcsönös trig funkciókkal. Függetlenül attól, hogy ugyanazt jelentik. Például az arctan származéka megegyezik a tan-1\tan^{-1}tan-1 származékával.,
itt vannak az inverz trig származékok, amelyeket tudnia kell.
vegye figyelembe, hogy az arctan származék hasonló az arccot származékához, kivéve ott egy extra negatív jel. Véletlenül látjuk, hogy az arcsin származéka hasonló az arccos származékához. A különbség ismét a negatív jel. Itt nem fogunk példát mutatni az inverz trig függvények származékaira., Ha azonban érdekli, akkor kérjük, nézze meg ezt a cikket itt:
inverz trig függvények származéka
A cikk itt részletes lépésről-lépésre megoldást nyújt ezen származékok előállításához.