a kúpos rész egy sík és egy dupla jobb kör alakú kúp metszéspontja . A kereszteződés szögének és elhelyezkedésének megváltoztatásával különböző típusú kúpokat állíthatunk elő. Négy alaptípus létezik: körök, ellipszisek, hiperbolák és parabolák . Egyik kereszteződés sem halad át a kúp csúcsain.
Ha a jobb kör alakú kúpot a kúp tengelyére merőleges sík vágja le, a metszéspont egy kör., Ha a sík metszi a kúp és a tengelye egyik darabját, de nem merőleges a tengelyre, akkor a metszéspont ellipszis lesz. Parabola létrehozásához a metsző síknak párhuzamosnak kell lennie a kúp egyik oldalával, és kereszteznie kell a kettős kúp egy darabját. Végül, hiperbola létrehozásához a sík metszi a kúp mindkét darabját. Ehhez a metsző sík lejtésének nagyobbnak kell lennie, mint a kúpé.,
bármely kúpszakasz általános egyenlete
A x 2 + B X y + C y 2 + D x + E y + F = 0 ahol a , B , C , D, E és F állandók.
ahogy néhány konstans értékét megváltoztatjuk, a megfelelő kúp alakja is megváltozik. Fontos tudni az egyenletek különbségeit, hogy segítsen gyorsan azonosítani az adott egyenlet által képviselt kúp típusát.
Ha B 2-4 A C kevesebb, mint nulla, ha egy kúp létezik, akkor kör vagy ellipszis lesz.
Ha B 2 – 4 A C egyenlő nullával, ha egy kúp létezik, akkor parabola lesz.,
Ha B 2 − 4 A C nagyobb, mint nulla, ha egy kúp létezik, akkor hiperbola lesz.
A kúpos szakaszok egyenleteinek STANDARD formái:
egyenletrendszerek megoldása
ismernie kell a lineáris egyenlet megoldási rendszerét . Geometriailag két vagy több egyenes metszéspontját(pontjait) adja. Hasonló módon a kvadratikus egyenletek rendszerének megoldásai két vagy több kúp metszéspontját adnák.
algebrai szempontból a kvadratikus egyenletek rendszere kiküszöböléssel vagy helyettesítéssel megoldható, ugyanúgy, mint a lineáris rendszerek esetében.,
példa:
oldja meg az egyenletrendszert.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
az X 2 együtthatója mindkét egyenlet esetében azonos. Tehát vonja le a második egyenletet az elsőből, hogy megszüntesse az x változót . Kapsz:
3 y 2 = 7
megoldása y:
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
használja az Y értékét az x értékeléséhez .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9-7 3 = 20 3 x = ± 20 3
ezért az oldatok ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) és ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
most nézzük meg geometriai szempontból.
Ha osztja mindkét oldalán az első egyenlet x 2 + 4 y 2 = 16 16 kapsz x 2 16 + y 2 4 = 1 . Vagyis egy ellipszis, amelynek eredete a 4-es főtengely és a 2-es kisebb tengely . A második egyenlet egy kör, amelynek középpontja az eredet, sugara pedig 3 . A kör és az ellipszis az ábrán látható módon négy különböző ponton találkozik.