Une section conique est l’intersection d’un plan et d’un double cône circulaire droit . En changeant l’angle et l’emplacement de l’intersection, nous pouvons produire différents types de coniques. Il existe quatre types de base: cercles , ellipses, hyperboles et paraboles . Aucune des intersections ne passera à travers les sommets du cône.
Si le droit de la circulaire du cône est coupé par un plan perpendiculaire à l’axe du cône, l’intersection est un cercle., Si le plan croise l’une des pièces du cône et son axe mais n’est pas perpendiculaire à l’axe, l’intersection sera une ellipse. Pour générer une parabole, le plan d’intersection doit être parallèle à un côté du cône et il doit croiser une pièce du double cône. Et enfin, pour générer une hyperbole, le plan croise les deux morceaux du cône. Pour cela, la pente du plan d’intersection doit être supérieure à celle du cône.,
L’équation générale pour une conique est
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 où A , B , C , D , E et F sont des constantes.
Lorsque nous changeons les valeurs de certaines constantes, la forme de la conique correspondante changera également. Il est important de connaître les différences dans les équations pour aider à identifier rapidement le type de conique représenté par une équation donnée.
Si B 2 – 4 A C est inférieur à zéro, si une conique existe, ce sera soit un cercle, soit une ellipse.
Si B 2 – 4 A C est égal à zéro, si une conique existe, ce sera une parabole.,
Si B 2 – 4 A C est supérieur à zéro, si une conique existe, ce sera une hyperbole.
FORMES STANDARD D’ÉQUATIONS DE SECTIONS CONIQUES:
Résolution de systèmes d’équations
Vous devez être familier avec la résolution de système d’équation linéaire . Géométriquement, il donne le ou les points d’intersection de deux ou plusieurs droites. De la même manière, les solutions du système d’équations quadratiques donneraient les points d’intersection de deux coniques ou plus.
Algébriquement un système d’équations quadratiques peut être résolu par l’élimination ou la substitution comme dans le cas de systèmes linéaires.,
Exemple:
Résoudre le système d’équations.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
Le coefficient de x 2 est la même pour les deux équations. Donc, soustrayez la deuxième équation de la première pour éliminer la variable x. Vous obtenez:
3 y 2 = 7
la Résolution y :
3 o 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
l’Utilisation de la valeur de y pour évaluer x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
par conséquent, les solutions sont ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) et ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
Maintenant, regardons-le d’un point de vue géométrique.
Si vous divisez les deux côtés de la première équation x 2 + 4 y 2 = 16 par 16, on obtient x 2 16 + y 2 4 = 1 . C’est-à-dire qu’il s’agit d’une ellipse centrée à l’origine avec l’axe majeur 4 et l’axe mineur 2 . La deuxième équation est un cercle centré à l’origine et a un rayon 3 . Le cercle et l’ellipse se rencontrent en quatre points différents comme indiqué.