Dérivées de fonctions trigonométriques
Avant de commencer à apprendre à prendre des dérivées de fonctions trigonométriques, pourquoi ne pas revenir aux bases? Revenir en arrière et revoir les bases est toujours une bonne chose. En effet, beaucoup de gens ont tendance à oublier les propriétés des fonctions trigonométriques. De plus, l’oubli de certaines propriétés, identités et règles de trig rendrait certaines questions de calcul encore plus difficiles à résoudre., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Si nous étions graphique de la fonction, nous aurons:
l’Avis de la xxx valeurs en x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \in Ix=2π±nn,n∈I sont indéfinis, et ont des asymptotes verticales. Cela signifie que la dérivée de tanx\tan xtanx ne sera pas différentiable à ces points., Une chose intéressante à noter ici est que la pente de tan x x\tan xtanx n’est jamais négative ou 0. Par conséquent, nous devrions nous attendre à ce que la dérivée de tanx\tan xtanx soit toujours positive.
Maintenant, la fonction suivante f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, qui est la réciproque de cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
Identités trigonométriques
Les six premières identités sont des identités réciproques, qui sont utiles lorsque vous voulez vos dérivées sous une certaine forme.
Maintenant, le plus important, les identités sont ces trois.
Ils sont très utiles quand il s’agit de la simplification des instruments dérivés., Maintenant que nous avons les bases, allons-y et jetons un coup d’œil à la dérivée des fonctions trig.
Dérivées Trig
Les six dérivées de la fonction trig sont les suivantes:
1. La dérivée de sinx\sin xsinx est:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., La dérivée de cot cot x\cot xcotx est:
Si vous voulez vraiment savoir comment nous obtenons les dérivées, puis regardez cet article ci-dessous:
Dérivée des fonctions trig inverses
L’article montre que la dérivée de sin et cosinus peut être trouvée en utilisant la définition de dérivée, et le reste peut être trouvé avec la règle du quotient. Assurez-vous de bien mémoriser ces dérivés!, Nous les utiliserons pour dériver des fonctions trigonométriques encore plus difficiles. Vous voudrez peut-être également revoir la règle de la chaîne car de nombreux dérivés trig durs l’exigent.
Dérivée de sin ^ 2x
Nous savons peut-être que la dérivée de sin est cos x x\cos xcosx, mais qu’en est-il de la dérivée de sin2x\sin^{2} xsin2x? Commençons par définir la fonction
nous allons déplacer le carré terme, de sorte que la fonction devient:
Nous allons utiliser la chaîne de la règle ici. Rappelez-vous que la règle de la chaîne indique que si vous avez une fonction dans une fonction, appelez-la
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Et donc la dérivée de la fonction f(x) sera:
Qui est la dérivée de sin2x\sin^{2} xsin2x. Ce n’était pas aussi dur que nous le pensions! Regardons autour de dur.
Dérivée de cos ^ 2x
Encore une fois, nous savons que la dérivée de cosinus est −sin x x – \sin x-sinx, mais qu’en est-il de la dérivée de cos 2 2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Néanmoins, c’est la dérivée de cos2x\cos^{2} xcos2x. Essayons de trouver la dérivée d’une autre fonction trigonométrique carrée.
Dérivée de sec^2x
Encore une fois, l’idée clé de prendre la dérivée de sec2x\sec^{2} xsec2x utilise la règle de la chaîne. Nous définissons la fonction
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Dérivé de sinx^2
Maintenant, avant de vous faire confus, c’est une fonction qui ressemble à du péché2x\sin^{2} xsin2x. Cependant, le péché2x\sin^{2} xsin2x est différent du péchéx2\sin x^{2}sinx2. Donc, bien sûr, les dérivés seront également différents. Nous définissons la fonction:
Notez que nous allons utiliser la chaîne de la règle ici., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Celui-ci est un peu plus difficile car la dérivée semble avoir deux carrés; un de sécant et un de x. Enfin, regardons la dérivée de csc csc x2\csc x^{2}cscx2.
Dérivé de cscx^2
La fonction que nous avons est:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
En utilisant la formule de règle de chaîne, nous obtenons que la dérivée de cscx2\csc x^{2}cscx2 est:
Encore une fois, le processus prend la dérivée de sec2 x2\sec x^{2}secx2et cot cot x2\cot x^{2}cotx2 sera également le même. Si vous voulez regarder plus de questions sur la dérivation des fonctions trigonométriques, alors je vous suggère de regarder ce lien.,
Maintenant, il est temps de passer à autre chose et de jeter un oeil à quelques questions qui ont des applications à la pente d’une fonction.
la Pente d’une fonction trigonométrique
Supposons que nous voulons trouver la pente de la fonction:
Au point x=0. Comment pourrions-nous le faire? Eh bien, réalisez que prendre trouver la pente d’une fonction est juste la même chose que prendre la dérivée. Cela nécessitera d’utiliser la règle du quotient puisque la fonction est un quotient.,
Rappelez-vous que la règle du quotient dit ce qui suit:
Si vous avez une fonction
Alors la dérivée de cette fonction sera:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Par conséquent,
Ainsi, la pente de la fonction au point x = 0 est exactement 12\frac{1}{2}21. Cependant, que se passe-t-il si on nous donne la pente tangente d’une fonction en un point spécifique, et que nous devons trouver ce point?
Trouver les points compte tenu de la pente
Supposons que vous êtes donné que la fonction est:
Et vous voulez trouver l’ensemble des points de la pente de la tangente est égale à 0. Cela signifie que nous devons prendre la dérivée et la définir égale à 0 pour trouver les valeurs x. Notez que la dérivée de tan\ \ tantan est sec 2 2 \ sec^{2} sec2 et la dérivée de cot\ \ cotcot est-csc2 \ csc^{2}csc2, donc
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Nous pouvons en fait isoler sin2\sin^{2}sin2 par lui-même dans l’équation de sorte que:
en Substituant ceci dans notre équation donne:
Maintenant, nous devons nous pencher sur le cas positif, puis négatif de cas., Pour le cas positif, nous avons:
Voir que puisque x n’est pas borné, alors étaient infiniment de solutions. En fait, nous savons que les solutions sont:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
Maintenant, nous allons prendre un regard sur les quatre solutions ensemble. Notez que les deux paires sont les mêmes
et nous nous contentons Donc d’exclure les deux solutions et dire que les solutions sont
on peut Donc conclure que ce sont l’ensemble des points où la pente de la fonction est égale à 0.
Dérivée des Fonctions Trigonométriques inverses
Maintenant, la Dérivée des fonctions trigonométriques inverses est un peu plus laide à mémoriser. Notez que nous avons tendance à utiliser le préfixe « arc » au lieu de la puissance de -1 afin qu’ils ne soient pas confondus avec les fonctions trig réciproques. Peu importe, ils signifient la même chose. Par exemple, la dérivée d’arctan est la même que la dérivée de tan-1\tan^{-1}tan−1.,
Voici les dérivés trig inverses que vous aurez besoin de connaître.
Notez que la arctan dérivés est similaire à la dérivée de arccot, sauf il y a un signe négatif. Par coïncidence, nous voyons que la dérivée d’arcsin est similaire à la dérivée d’arccos. La différence est encore le signe négatif. Nous ne ferons aucun exemple de Dérivée de fonctions trigonométriques inverses ici., Cependant, si vous êtes intéressé, veuillez consulter cet article ici:
Dérivée des fonctions trig inverses
L’article ici donne une solution détaillée étape par étape pour dériver ces dérivées.