Johdannainen trig toiminnot
Ennen kuin voimme alkaa opetella, miten ottaa johdannainen trig toiminnot, miksemme mennä takaisin perusasiat? Paluu ja perusasioiden läpikäyminen on aina hyvä asia. Tämä johtuu siitä, että monilla ihmisillä on taipumus unohtaa trigonometristen funktioiden ominaisuudet. Lisäksi tiettyjen trig-ominaisuuksien, identiteettien ja trig-sääntöjen unohtaminen vaikeuttaisi tiettyjen Calculus-kysymysten ratkaisemista entisestään., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Jos olisimme funktion kuvaaja, saamme:
Huomaa xxx arvoilla x=π 2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \Ix=2π±nn,n∈I ovat määrittelemättömiä, ja on pystysuora asymptoottia. Tämä tarkoittaa, että tanx\tan xtanxin derivaatta ei ole erotettavissa näissä kohdissa., Yksi mielenkiintoinen asia huomata tässä on, että rinne tanx\tan xtanx ei ole koskaan negatiivinen tai 0. Siksi meidän pitäisi odottaa, että tanx\tan xtanxin derivaatta on aina positiivinen.
Nyt seuraava funktio on f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, joka on vastavuoroinen, koskax\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
trigonometriset identiteetit
ensimmäiset kuusi identiteettiä ovat vastavuoroisia identiteettejä, jotka tulevat tarpeeseen, kun haluaa johdannaiset tiettyyn muotoon.
Nyt tärkein identiteetit ovat nämä kolme.
– He ovat erittäin hyödyllisiä, kun se tulee yksinkertaistaa johdannaiset., Nyt, että meillä on perusasiat alas, mennään eteenpäin ja oikeastaan katsomaan johdannainen trig toimintoja.
Trig johdannaiset
kuusi trig-funktion johdannaiset ovat seuraavat:
1. Johdannainen syntix – \sin xsinx on:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Johdannainen pinnasänkyx\cot xcotx on:
Jos todella haluat tietää, miten saamme johdannaiset, sitten katsoa tämän artikkelin alla:
Johdannainen käänteinen trig toimintoja.
artikkeli osoittaa, että johdannainen synti ja kosini voidaan löytää käyttämällä määritelmää johdannainen, ja loput löytyy kanssa osamäärä sääntö. Muista muistaa nämä johdannaiset hyvin!, Käytämme näitä johtaaksemme vielä kovempia trigonometrisia funktioita. Saatat myös haluta tarkastella ketjusääntöä, koska monet kovat trig-johdannaiset vaativat sitä.
Johdannainen sin^2x
Emme voi tietää, että johdannainen synti on, koskax\cos xcosx, mutta entä johdannainen synti2x\sin^{2} xsin2x? Aloitetaan määrittelemällä funktion
– Anna on siirtyä neliö aikavälillä niin, että toiminto tulee:
aiomme käyttää ketjun sääntö täällä. Muista, että ketju säännön mukaan, jos sinulla on toimintoa funktio, kutsuvat sitä
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Ja niin derivaatta f(x) tulee olla:
Joka on johdannainen synti2x\sin^{2} xsin2x. Se ei ollut niin vaikeaa kuin luulimme! Katsotaan nyt kovaa.
Johdannainen cos^2x
ja Jälleen, emme tiedä, johdannainen kosinin on −syntix- \sin x, sinx, mutta entä johdannainen, koska2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Kuitenkin, tämä on johdannainen, koska2x\cos^{2} xcos2x. Yritetään löytää johdannainen toiseen potenssiin trigonometriset toiminto.
Johdannainen sek^2x
Jälleen kerran, avain ajatus kun johdannainen sec2x\sec^{2} xsec2x käyttää ketjusääntöä. Määrittelemme funktion
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Johdannainen sinx^2
Nyt ennen kuin saat sekava, tämä on toiminto, joka näyttää samanlainen synti2x\sin^{2} xsin2x. Kuitenkin synti2x\sin^{2} xsin2x on eri synnistäx2\sin x^{2}sinx2. Joten tietenkin johdannaiset ovat myös erilaisia. Määrittelemme funktion:
Huomaa, että käytämme ketju sääntö täällä., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Tämä on hieman vaikeampaa, koska johdannainen näyttää kaksi ruutua, yksi sekantin ja yksi x. Lopuksi, katsotaanpa johdannainen cscx2\csc x^{2}cscx2.
Johdannainen cscx^2
– toiminto on:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Käyttämällä ketjusääntöä kaava, saamme, että johdannainen cscx2\csc x^{2}cscx2 on:
Jälleen, että prosessi ottaa johdannainen secx2\sec x^{2}secx2and pinnasänkyx2\cot x^{2}cotx2 on myös sama. Jos haluat tarkastella enemmän kysymyksiä deriving trigonometriset toiminnot, niin ehdotan, että katsot tätä linkkiä.,
nyt on aika siirtyä eteenpäin ja vilkaista joitakin kysymyksiä, joilla on sovelluksia funktion kaltevuuteen.
Rinne, trigonometriset toiminto
Oletetaan, että haluamme löytää kaltevuus toiminto:
pisteessä x=0. Miten me sen tekisimme? No, ymmärtää, ottaa löytää kaltevuus funktio on aivan sama kuin ottaen johdannainen. Tämä edellyttää osamaksusäännön käyttämistä, koska funktio on osamäärä.,
Muista, että osamäärä sääntö sanoo seuraavaa:
Jos sinulla on toiminto,
Sitten johdannainen tämä toiminto on:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Näin ollen,
Näin, kaltevuus funktio pisteessä x = 0 on tasan 12\frac{1}{2}21. Kuitenkin, mitä jos meille annettiin tangentti kaltevuus funktion tietyssä kohdassa, ja meidän täytyy löytää, että kohta?
Löytää kohtia, koska kaltevuus
Oletetaan, että sinulla on ottaen huomioon, että toiminto on:
Ja haluat löytää pisteiden joukko, jonka kulmakerroin tangentin on yhtä suuri kuin 0. Tämä tarkoittaa, että meidän täytyy ottaa johdannainen ja asettaa se on 0 löytää x arvot. Huomaa, että johdannainen tan\tantan on sek2\sec^{2}s2 ja johdannainen pinnasänky\cotcot on –csc2\csc^{2}csc2, joten
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Emme voi itse eristää synti2\sin^{2}sin2 itse yhtälöä niin, että:
Korvaamalla tämä meidän yhtälö antaa:
– Nyt meidän täytyy katsoa positiivinen asia ja sitten negatiivinen asia., Positiivinen asia meillä on:
Katso, että koska x ei ole rajoitettu, sitten olivat olemassa äärettömän monia ratkaisuja. Itse asiassa, me tiedämme, että ratkaisut ovat:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
– Nyt mennään katsomaan neljä ratkaisuja kokonaisuutena. Huomaa, että kaksi paria ovat samat,
Joten emme voi vain sulkea kaksi ratkaisuja ja sanoa, että ratkaisut ovat
Joten voimme päätellä, että nämä ovat joukko pisteitä, joiden kaltevuus toiminto on yhtä suuri kuin 0.
Johdannainen Käänteinen Trigonometriset Toiminnot
Nyt Johdannainen käänteinen trig toiminnot ovat hieman rumempi muistaa. Huomaa, että meillä on tapana käyttää etuliitettä ” arc ” voiman sijasta -1, jotta ne eivät sekaannu vastavuoroisiin trig-funktioihin. He tarkoittavat samaa asiaa. Esimerkiksi johdannainen arctan on sama kuin johdannainen tan-1\tan^{-1}tan−1.,
tässä ovat käänteiset trig-johdannaiset, jotka sinun on tiedettävä.
Huomaa, että arctan johdannainen on samanlainen johdannainen arccot, paitsi että siellä on ylimääräinen negatiivinen merkki. Sattumalta näemme, että arcsiinin derivaatta on samanlainen kuin arccosin derivaatta. Ero taas on negatiivinen merkki. Emme aio tehdä mitään esimerkkejä derivaatta inverse trig toimintoja täällä., Jos olet kuitenkin kiinnostunut, katso tämä artikkeli tästä:
inverse trig-funktioiden derivaatta
tässä artikkelissa esitetään yksityiskohtainen vaiheittainen ratkaisu näiden johdannaisten syntyyn.