una sección cónica es la intersección de un plano y un cono circular derecho doble . Al cambiar el ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos , elipses , hipérbolas y parábolas . Ninguna de las intersecciones pasará a través de los vértices del cono.
Si el cono recto circular es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es un círculo., Si el plano interseca una de las piezas del cono y su eje pero no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una parábola, el plano de intersección debe ser paralelo a un lado del cono y debe intersecar una pieza del cono doble. Y finalmente, para generar una hipérbola el plano interseca ambas piezas del cono. Para esto, la pendiente del plano de intersección debe ser mayor que la del cono.,
La ecuación general para cualquier sección cónica es
a x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde a , B , C , D , E y F son constantes.
a medida que cambiamos los valores de algunas de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiará. Es importante conocer las diferencias en las ecuaciones para ayudar a identificar rápidamente el tipo de cónica que está representada por una ecuación dada. si B 2 – 4 A C es menor que cero, si existe una cónica, será un círculo o una elipse.
Si B 2 – 4 A C es igual a cero, si existe una cónica, será una parábola., si B 2 – 4 A C es mayor que cero, si existe una cónica, será una hipérbola.
formas estándar de ecuaciones de secciones cónicas:
resolver sistemas de ecuaciones
debe estar familiarizado con el sistema de resolución de ecuaciones lineales . Geométricamente da el punto(s) de intersección de dos o más líneas rectas. De manera similar, las soluciones del sistema de ecuaciones cuadráticas darían los puntos de intersección de dos o más cónicas.
algebraicamente un sistema de ecuaciones cuadráticas puede ser resuelto por eliminación o sustitución al igual que en el caso de los sistemas lineales.,
Ejemplo:
Resolver el sistema de ecuaciones.
x 2 + 4 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 9
El coeficiente de x 2 es el mismo para ambas ecuaciones. Así, restar la segunda ecuación de la primera para eliminar la variable x . Usted obtener:
3 y 2 = 7
Resolviendo para y :
3 y 2 3 = 7 3 y 2 = 7 3 y = ± 7 3
Utilice el valor de y para evaluar x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
por lo Tanto, las soluciones son ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) y ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
Ahora, vamos a verlo desde un punto de vista geométrico.
si divide ambos lados de la primera ecuación x 2 + 4 y 2 = 16 por 16 obtendrá x 2 16 + y 2 4 = 1 . Es decir, es una elipse centrada en el origen con el eje mayor 4 y el eje menor 2 . La segunda ecuación es un círculo centrado en el origen y tiene un radio 3 . El círculo y la elipse se encuentran en cuatro puntos diferentes como se muestra.