derivada de funciones trigonométricas
antes de empezar a aprender cómo tomar derivada de funciones trigonométricas, ¿por qué no volvemos a lo básico? Volver atrás y revisar los conceptos básicos siempre es algo bueno. Esto se debe a que mucha gente tiende a olvidarse de las propiedades de las funciones trigonométricas. Además, olvidar ciertas propiedades trigonométricas, identidades y reglas trigonométricas haría que ciertas preguntas en el cálculo fueran aún más difíciles de resolver., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Si fuéramos gráfica de la función, obtenemos:
Observe el xxx valores en x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \in Ix=2π±nn,n∈I son indefinidos, y tiene asíntotas verticales. Esto significa que la derivada de tanx\tan xtanx no será diferenciable en esos puntos., Una cosa interesante a tener en cuenta aquí es que la pendiente de tanx\tan xtanx nunca es negativa o 0. Por lo tanto, debemos esperar que la derivada de tanx\tan xtanx siempre sea positiva.
Ahora, la siguiente función es f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, que es el recíproco de cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
identidades trigonométricas
las primeras seis identidades son identidades recíprocas, que son útiles cuando desea sus derivadas en una forma determinada.
Ahora, la más importante de las identidades de estos tres.
son muy útiles cuando se trata de la simplificación de los derivados., Ahora que tenemos los fundamentos abajo, vamos a seguir adelante y realmente echar un vistazo a la derivada de funciones trigonométricas.
derivados trigonométricos
los Seis derivados de la función trigonométrica son los siguientes:
1. La derivada del pecadox\pecado xsinx es:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., La derivada de cotx\cot xcotx es:
Si realmente quieres saber cómo obtenga las derivadas, luego mire este artículo a continuación:
derivada de funciones trigonométricas inversas
El artículo muestra que la derivada de sin y coseno se puede encontrar utilizando la definición de derivada, y el resto se puede encontrar con la regla del cociente. ¡Asegúrate de memorizar bien estos derivados!, Vamos a utilizar estos para derivar funciones trigonométricas aún más difíciles. También es posible que desee revisar la regla de la cadena ya que una gran cantidad de derivados trigonométricos duros lo requieren.
derivada de sin^2x
podemos saber que la derivada de sin es cosx\cos xcosx, pero ¿qué pasa con la derivada de sin2x\sin^{2} xsin2x? Comencemos definiendo la función
movamos el término cuadrado para que la función se convierta en:
vamos a usar la regla de la cadena aquí. Recuerde que la regla de la cadena indica si tiene una función dentro de una función, llámela
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Y, entonces, la derivada de la función f(x) será:
que es la derivada de sin2x\sin^{2} xsin2x. Echemos un vistazo a la difícil.
derivada de cos^2x
de nuevo, sabemos que la derivada del coseno es −sinx- \sin x−sinx, pero ¿qué pasa con la derivada de cos2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Sin embargo, esta es la derivada de cos2x\cos^{2} xcos2x. vamos a tratar de encontrar la derivada de Otra función trigonométrica cuadrada.
derivada de sec^2x
nuevamente, la idea clave de tomar la derivada de sec2x\sec^{2} xsec2x es usar la regla de la cadena. Definimos la función como
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
derivada de sinx^2
ahora, antes de confundirse, esta es una función que se ve similar a sin2x\sin^{2} xsin2x. sin embargo, sin2x\sin^{2} xsin2x es diferente de sinx2\sin x^{2}sinx2. Así que, por supuesto, hay derivados también será diferente. Definimos la función como:
tenga en cuenta que usaremos la regla de la cadena aquí., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Este es un poco más difícil porque la derivada parece tener dos cuadrados; uno de secante y uno de x. Por último, echemos un vistazo a la derivada de cscx2\csc x^{2}cscx2.
Derivado de cscx^2
La función que tenemos es:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Usando la fórmula de la regla de la cadena, obtenemos que la derivada de cscx2\csc x^{2}cscx2 es:
nuevamente, el proceso en tomar la derivada de secx2 \ sec x^{2}secx2and cotx2\cot x^{2} cotx2 también será el mismo. Si desea ver más preguntas de derivar funciones trigonométricas, entonces le sugiero que mire este enlace.,
Ahora es el momento de seguir adelante y echar un vistazo a algunas preguntas que tienen aplicaciones a la pendiente de una función.
la Pendiente de una función trigonométrica
Supongamos que queremos encontrar la pendiente de la función:
En el punto x=0. ¿Cómo lo haríamos? Bueno, darse cuenta de tomar encontrar la pendiente de una función es lo mismo que tomar la derivada. Esto requerirá usar la regla del cociente ya que la función es un cociente.,
recuerde que la regla del cociente dice lo siguiente:
Si tiene una función
Entonces la derivada de esta función será:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Por lo tanto,
por lo tanto, la pendiente de la función en el punto x = 0 es exactamente 12\frac{1}{2}21. Sin embargo, ¿qué pasa si se nos da la pendiente tangente de una función en un punto específico, y tenemos que encontrar ese punto?
encontrar los puntos dados la pendiente
supongamos que se le da que la función es:
y desea encontrar el conjunto de puntos cuya pendiente de la recta tangente es igual a 0. Esto significa que necesitamos tomar la derivada y establecerla igual a 0 para encontrar los valores de x. Tenga en cuenta que la derivada de tan\tantan es sec2\sec^{2}sec2 y la derivada de cot\cotcot es –csc2\csc^{2}csc2, por lo que
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
en realidad podemos aislar sin2\sin^{2}sin2 por sí mismo en la ecuación de modo que:
Sustituyendo esto en la ecuación se obtiene:
Ahora tenemos que mirar el caso positivo y luego el caso negativo., Para el caso positivo tenemos:
vea que dado que x no está acotado, entonces son infinitamente muchas soluciones. De hecho, sabemos que las soluciones son:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
ahora echemos un vistazo a las cuatro soluciones en su conjunto. Observe que los dos pares son los mismos
así que podemos excluir las dos soluciones y decir que las soluciones son
por Lo que podemos concluir que estos son el conjunto de puntos en los que la pendiente de la función es igual a 0.
derivada de funciones trigonométricas inversas
ahora la derivada de funciones trigonométricas inversas son un poco más feas de memorizar. Tenga en cuenta que tendemos a usar el prefijo «arc» en lugar de la potencia de -1 para que no se confundan con funciones trigonométricas recíprocas. En cualquier caso, significan lo mismo. Por ejemplo, la derivada de arctan es la misma que la derivada de tan-1 \ tan^{-1} tan-1.,
Aquí están las derivadas trigonométricas inversas que necesitará saber.
tenga en cuenta que la derivada de arctan es similar a la derivada de arccot, excepto que es un signo negativo extra. Coincidentemente, vemos que la derivada de arcsin es similar a la derivada de arccos. La diferencia de nuevo es el signo negativo. No vamos a hacer ningún ejemplo de derivada de funciones trigonométricas inversas aquí., Sin embargo, si usted está interesado, entonces por favor mire este artículo aquí:
derivada de funciones trigonométricas inversas
el artículo aquí da una solución detallada paso a paso para derivar estas derivadas.