en konisk sektion er skæringspunktet mellem et plan og en dobbelt højre cirkulær kegle . Ved at ændre vinklen og placeringen af krydset, kan vi producere forskellige typer af koniske. Der er fire grundlæggende typer: cirkler , ellipser , hyperbolas og parabler . Ingen af krydsene vil passere gennem keglens hjørner.
Hvis den højre cirkulære kegle skæres af et plan vinkelret på keglens akse, er krydset en cirkel., Hvis flyet skærer et af keglens stykker og dets akse, men ikke er vinkelret på aksen, vil krydset være en ellipse. For at generere en parabola skal det skærende plan være parallelt med den ene side af keglen, og det skal krydse et stykke af dobbeltkeglen. Og endelig, for at generere en hyperbola skærer flyet begge stykker af keglen. Til dette skal hældningen af det skærende plan være større end keglens.,
den generelle ligning for enhver konisk sektion er
A 2 2 + b.y + c y 2 + D. + E y + F = 0 hvor A , B , C , D , E og F er konstanter.
Når vi ændrer værdierne for nogle af konstanterne, ændres formen på den tilsvarende konisk også. Det er vigtigt at kende forskellene i ligningerne for hurtigt at identificere den type konisk, der er repræsenteret ved en given ligning.
Hvis B 2-4 A C er mindre end nul, hvis der findes en konisk, vil det enten være en cirkel eller en ellipse.
Hvis B 2 − 4 A C er lig med nul, hvis der findes en konisk, vil det være en parabola.,
Hvis B 2-4 A C er større end nul, hvis der findes en konisk, vil det være en hyperbola.
standardformer for ligninger af koniske sektioner:
løsning af ligningssystemer
Du skal være bekendt med at løse system af lineær ligning . Geometrisk giver det skæringspunktet mellem to eller flere lige linjer. På lignende måde, de løsninger af systemet med kvadratisk ligninger ville give skæringspunktet mellem to eller flere conics. algebraisk kan et system af kvadratiske ligninger løses ved eliminering eller substitution, ligesom det er tilfældet med lineære systemer.,
eksempel:
Løs ligningssystemet.
2 2 + 4 y 2 = 16.2 + y 2 = 9
koefficienten på 2 2 er den samme for begge ligninger. Så træk den anden ligning fra den første for at eliminere variablen.. Får du:
3 y-2 = 7
Løsning for y :
3 y 2 3 = 7 3 y-2 = 7 3 y = ± 7 3
Brug den værdi af y til at vurdere x .
x 2 + 7 3 = 9 x 2 = 9 − 7 3 = 20 3 x = ± 20 3
Derfor, at de løsninger, der er ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) og ( − 20 3 , − 7 3 ) .,
lad os nu se på det fra et geometrisk synspunkt.
Hvis du deler begge sider af den første ligning 2 2 + 4 y 2 = 16 med 16 får du 2 2 16 + y 2 4 = 1 . Det vil sige, det er en ellipse centreret ved oprindelse med større akse 4 og mindre akse 2 . Den anden ligning er en cirkel centreret ved oprindelse og har en radius 3 . Cirklen og ellipsen mødes på fire forskellige punkter som vist.