Derivat af trigonometriske funktioner
Før vi begynder at lære at tage derivat af trigonometriske funktioner, hvorfor vi ikke gå tilbage til det grundlæggende? At gå tilbage og gennemgå det grundlæggende er altid en god ting. Dette skyldes, at mange mennesker har tendens til at glemme egenskaberne af trigonometriske funktioner. Desuden glemmer visse trig egenskaber, identiteter og trig regler ville gøre visse spørgsmål i Calculus endnu vanskeligere at løse., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Hvis vi grafen for den funktion, vi vil få:
Bemærk xxx værdier i x=π 2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \i-Ix=2π±nn,n∈jeg er udefineret, og har lodrette asymptoter. Dette betyder, at derivatet af tan\ \ \ tan \tan.ikke kan differentieres på disse punkter., En interessant ting at bemærke her er, at hældningen af tan\ \ \ tan \tan.aldrig er negativ eller 0. Derfor bør vi forvente, at derivatet af tan\ \ \ tan \tan.altid vil være positivt.
Nu er den næste funktion er f(x)=sekxf(x) = \sec xf(x)=secx, som er den reciprokke af cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
Trigonometriske identiteter
de første seks identiteter er gensidige identiteter, som er nyttige, når du vil have dine derivater i en bestemt form.
Nu er den vigtigste identitet er disse tre.
De er meget nyttige, når det kommer til forenkling af derivater., Nu hvor vi har det grundlæggende ned, lad os gå videre og faktisk tage et kig på derivatet af trig-funktioner.
Trig-derivater
de seks trig-funktionsderivater er som følger:
1. Den afledte af syndx\synd xsinx er:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Den afledte af barnesengx\barneseng xcotx er:
Hvis du virkelig ønsker at vide, hvordan vi får derivater, så kig på denne artikel nedenfor:
Derivat af inverse trigonometriske funktioner
artiklen viser, at den afledte af synd og cosinus kan findes ved hjælp af definitionen af differentialkvotient og resten kan findes med kvotienten regel. Sørg for at huske disse derivater godt!, Vi vil bruge disse til at udlede endnu hårdere trigonometriske funktioner. Det kan også være en god ide at gennemgå kædereglen, da mange hårde trig-derivater kræver det.
derivat af synd^2?
Vi ved måske, at derivatet af synd er cos\\ \ cos coscos?, men hvad med derivatet af synd 2 2? \ sin^{2} ?sin2?? Lad os starte med at definere den funktion
Lad os flytte pladsen sigt, således at funktionen bliver:
Vi vil bruge kædereglen her. Husk på, at kæden regel er, hvis du har en funktion inden for en funktion, kalder det
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Og så den afledede af funktionen f(x) vil være:
hvilket er derivatet af synd 2 2\ \ sin^{2} sinsin2!. det var ikke så hårdt, som vi troede! Lad os se på omkring hård en.
derivat af cos^2?
igen kender vi derivatet af cosinus er −sin\ -\sin sin−Sin,, men hvad med derivatet af cos 2 2 \ \ cos^{2} ?cos2??, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Ikke desto mindre er dette derivatet af cos 2 2\ \ cos^{2} coscos2.. lad os prøve at finde derivatet af en anden kvadreret trigonometrisk funktion.
derivat af sec^2.
igen bruger nøgleideen om at tage derivatet af sec 2 2\ \ sec^{2} ^sec2. kædereglen. Vi definerer funktionen til at være
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Derivat af sinx^2
Nu, før du bliver forvirret, det er en funktion, der ligner synd2x\synd^{2} xsin2x. Men synden2x\synd^{2} xsin2x er forskellige fra syndx2\sin x^{2}sinx2. Så selvfølgelig vil derivater også være forskellige. Vi definerer funktionen til at være:
Bemærk, at vi vil bruge kædereglen her., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
denne er lidt sværere, fordi derivatet ser ud til at have to firkanter; en fra secant og en fra.. Lad os endelig se på derivatet af csc\2\CSC.^{2}CSC .2.
Derivat af cscx^2
Den funktion, vi har, er:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Brug den kæde, regel, formel, får vi, at den afledte af cscx2\csc x^{2}cscx2 er:
igen, processen I tage derivatet af sec 22\sec^^{2}sec .2and cotand .2\cot. ^ {2}cot .2 vil også være den samme. Hvis du vil se på flere spørgsmål om at udlede trigonometriske funktioner, foreslår jeg, at du ser på dette link., nu er det tid til at gå videre og se på nogle spørgsmål, der har applikationer til hældningen af en funktion.
Skråning af en trigonometrisk funktion
Antag at vi ønsker at finde hældningen af funktionen:
ved punktet= = 0. Hvordan ville vi gøre det? Nå, indse tage finde hældningen af en funktion er bare det samme som at tage derivatet. Dette kræver brug af kvotientreglen, da funktionen er en kvotient.,
Huske, at kvotienten regel siger følgende:
Hvis du har en funktion
Så den afledte af denne funktion vil være:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Derfor,
således er hældningen af funktionen ved punktet 0 = 0 nøjagtigt 12\frac{1}{2}21. Men hvad nu hvis vi fik tangenthældningen af en funktion på et bestemt punkt, og vi er nødt til at finde det punkt?
Find den givne punkter hældning
Antag, at du er i betragtning af, at den funktion er:
og du vil finde det sæt punkter, som hældningen af tangentlinjen er lig med 0. Dette betyder, at vi er nødt til at tage derivatet og indstille det lig med 0 for at finde values-værdierne. Bemærk, at den afledte af tan\tantan er sek2\sek^{2}sec2 og den afledte af barneseng\cotcot er –csc2\csc^{2}csc2, så
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Vi faktisk kan isolere synd2\synd^{2}sin2 af sig selv i ligningen, således at:
at Erstatte dette i vores ligning giver:
nu skal vi se på den positive sag og derefter den negative sag., For positive tilfælde har vi:
se, at da x ikke er afgrænset, så var der uendeligt mange løsninger. I virkeligheden, vi kender løsningerne er:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
lad os nu se på de fire løsninger som helhed. Bemærk, at de to par er den samme
Så vi bare kan udelukke, at de to løsninger og sige, at de løsninger, der er
så vi kan konkludere, at dette er det sæt punkter, hvor hældningen af funktionen er lig med 0.
derivat af Inverse trigonometriske funktioner
nu er derivatet af inverse trig-funktioner lidt grimmere at huske. Bemærk, at vi har en tendens til at bruge præfikset “arc” i stedet for kraften i -1, så de ikke forveksles med gensidige trig-funktioner. Uanset hvad betyder de det samme. For eksempel er derivat af arctan det samme som derivatet af tan−-1\tan^{-1}tan-1.,
Her er de inverse trig derivater, som du bliver nødt til at vide.
Bemærk, at arctan afledte svarer til afledte af arccot, bortset fra at der er en ekstra negativt fortegn. Tilfældigt ser vi, at derivatet af arcsin ligner derivatet af arccos. Forskellen igen er det negative tegn. Vi vil ikke gøre nogen eksempler på derivat af inverse trig funktioner her., Men hvis du er interesseret, så skal du se denne artikel her:
Derivat af inverse trigonometriske funktioner
artiklen her giver en detaljeret trin-for-trin løsning i følger disse derivater.