derivace trig funkcí
než se začneme učit, jak derivovat trig funkce, proč se nevrátíme k základům? Vrátit se a přezkoumat základy je vždy dobrá věc. Je to proto, že mnoho lidí má tendenci zapomínat na vlastnosti trigonometrických funkcí. Kromě toho, zapomínání na určité vlastnosti trig, identity, a pravidla trig by některé otázky v kalkulu ještě obtížnější vyřešit., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Pokud jsme graf funkce, dostaneme:
Všimněte si, xxx hodnoty v bodě x=π 2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \in Ix=2π±nn,n∈I, jsou nedefinované a svislé asymptoty. To znamená, že derivát tanx \ tan xtanx nebude v těchto bodech diferencovatelný., Jedna zajímavá věc, kterou je třeba poznamenat, je, že sklon tanx\tan xtanx není nikdy negativní nebo 0. Proto bychom měli očekávat, že derivát tanx \ tan xtanx bude vždy pozitivní.
další funkce je f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, což je převrácená, protožex\, protože xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
trigonometrické identity
prvních šest identit jsou vzájemné identity, které se hodí, když chcete své deriváty v určité formě.
Nyní nejdůležitější identity jsou tyto tři.
jsou velmi užitečné, pokud jde o zjednodušení deriváty., Nyní, když máme základy dolů, pojďme do toho a vlastně se podíváme na derivaci funkcí trig.
deriváty Trig
šest derivátů Trig funkcí je následující:
1. Derivace sinx\sin xsinx je:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Derivace postýlkax\cot xcotx je:
Pokud opravdu chcete vědět, jak jsme si derivátů, pak se podívejte na tento článek níže:
Derivace inverzní trigonometrické funkce
tento článek ukazuje, že derivace sin a kosinus lze nalézt pomocí definice derivace, a zbytek může být zjištěno, s kvocient pravidlo. Ujistěte se, že si tyto deriváty dobře zapamatujete!, Budeme je používat k odvození ještě tvrdších trigonometrických funkcí. Možná budete chtít také zkontrolovat pravidlo řetězce, protože to vyžaduje mnoho tvrdých derivátů trig.
Derivace sin^2x
víme, že derivace je hřích cosx\, protože xcosx, ale co je derivace sin2x\sin^{2} xsin2x? Začněme s definováním funkce
Pojďme se přesunout na náměstí termín tak, že funkce se stane:
zde použijeme řetězové pravidlo. Připomeňme si, že řetězec pravidlo říká, pokud máte funkce v rámci funkce, volání
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
A derivace funkce f(x) bude:
Což je derivace sin2x\sin^{2} xsin2x. Nebylo to tak těžké, jak jsme si mysleli! Podívejme se na to tvrdě.
derivát cos^2x
opět víme, že derivát kosinu je-sinx -\ sin x-sinx, ale co derivát cos2x \ cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Nicméně, toto je derivát cos2x \ cos^{2} xcos2x. zkusme najít derivaci jiné čtvercové trigonometrické funkce.
Derivace sec^2x
Opět, klíč, představa, přičemž derivace sec2x\sec^{2} xsec2x je používat řetízkové pravidlo. Definujeme funkci,
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Derivace sinx^2
Nyní, než se dostanete zmateni, to je funkce, která vypadá podobně sin2x\sin^{2} xsin2x. Nicméně, sin2x\sin^{2} xsin2x se liší od sinx2\sin x^{2}sinx2. Takže samozřejmě budou i jiné. Definujeme funkci:
Všimněte si, že zde použijeme řetězové pravidlo., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Tohle je trochu těžší, protože derivace zdá se, dva čtverce, jeden z sečny a jeden z x. A konečně, pojďme se podívat na derivát cscx2\csc x^{2}cscx2.
Derivace cscx^2
funkce, kterou máme, je:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Pomocí řetězové pravidlo, vzorec, dostaneme, že derivace cscx2\csc x^{2}cscx2 je:
Znovu, proces v derivaci secx2\sec x^{2}secx2and postýlkax2\cot x^{2}cotx2 bude také stejný. Pokud se chcete podívat na další otázky odvozování trigonometrických funkcí, doporučujeme vám podívat se na tento odkaz.,
nyní je čas jít dál a podívat se na některé otázky, které mají aplikace na sklon funkce.
Svahu trigonometrické funkce
Předpokládejme, že chceme najít sklon funkce:
v bodě x = 0. Jak bychom to udělali? No, uvědomte si vzít najít sklon funkce je stejně jako při derivaci. To bude vyžadovat použití kvocientního pravidla, protože funkce je kvocient.,
Připomeňme si, že kvocient pravidlo říká následující:
Pokud máte funkci,
Pak derivace této funkce bude:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Proto,
sklon funkce v bodě x = 0 je tedy přesně 12 \ frac{1}{2}21. Co kdybychom však dostali tečný sklon funkce v určitém bodě a musíme tento bod najít?
Hledání bodů daných svahu
Předpokládejme, že jste vzhledem k tomu, že funkce je:
a chcete najít sadu bodů, které se sklon tečny rovná 0. To znamená, že musíme vzít derivaci a nastavit ji na 0, abychom našli hodnoty x. Všimněte si, že derivace tan\tantan je sec2\sec^{2}s2 a derivace postýlka\cotcot je –csc2\csc^{2}csc2, takže
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
můžeme izolovat sin2\sin^{2}sin2 sám o sobě v rovnici tak, že:
Dosazením do naší rovnice dává:
Nyní se musíme podívat na pozitivní a pak negativní případ., Pro pozitivní případ máme:
vidět, že vzhledem k tomu, x není ohraničena, pak byly nekonečně mnoho řešení. Ve skutečnosti, víme, že řešení jsou:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
nyní se podívejme na čtyři řešení jako celek. Všimněte si, že dva páry jsou stejné
Takže můžeme vyloučit dvě řešení a říci, že řešení jsou
Takže můžeme říci, že jsou to množiny bodů, v nichž sklon funkce je rovna 0.
derivace inverzních trigonometrických funkcí
nyní je derivace inverzních trig funkcí trochu ošklivější k zapamatování. Všimněte si, že máme tendenci používat předponu „arc“ místo výkonu -1, aby se nezaměňovali s vzájemnými funkcemi trig. Bez ohledu na to znamenají totéž. Například derivát arctanu je stejný jako derivát tan-1\tan^{-1}tan-1.,
zde jsou inverzní deriváty trig, které budete potřebovat vědět.
Všimněte si, že arctan derivace je podobný derivát arccot, kromě toho, že tam je další negativní znamení. Shodou okolností vidíme, že derivát arcsinu je podobný derivátu arccos. Rozdíl je opět záporné znaménko. Nebudeme dělat žádné příklady derivace inverzních trig funkcí zde., Pokud však máte zájem, podívejte se prosím na tento článek zde:
derivace inverzních trig funkcí
článek zde poskytuje podrobné podrobné řešení v odvození těchto derivátů.