Ableitung von Trig-Funktionen
Bevor wir lernen, wie man Ableitungen von Trig-Funktionen nimmt, warum gehen wir nicht zurück zu den Grundlagen? Zurück zu gehen und die Grundlagen zu überprüfen, ist immer eine gute Sache. Dies liegt daran,dass viele Menschen die Eigenschaften trigonometrischer Funktionen vergessen. Darüber hinaus würde das Vergessen bestimmter Trig-Eigenschaften, Identitäten und Trig-Regeln bestimmte Fragen im Kalkül noch schwieriger zu lösen machen., Let’s first take a look at the six trigonometric functions.
The 6 Trigonometric Functions
Next is the function f(x)=cosxf(x) = \cos xf(x)=cosx., Wenn wir Graphen der Funktion, erhalten wir:
Beachten Sie die xxx-Werte bei x=π2±nn,n∈Ix = \frac{\pi}{2} \pm \pi n, n \in Ix=2π±nn,n∈I, sind nicht definiert, und die vertikale Asymptoten. Dies bedeutet, dass die Ableitung von tanx\tan xtanx an diesen Punkten nicht unterscheidbar ist., Eine interessante Sache, die hier zu beachten ist, ist, dass die Steigung von tanx \ tan xtanx niemals negativ oder 0 ist. Daher sollten wir erwarten, dass die Ableitung von tanx\tan xtanx, immer positiv zu sein.
Jetzt wird die nächste Funktion ist f(x)=secxf(x) = \sec xf(x)=secx, die der Kehrwert von cosx\cos xcosx., Graphing gives:
The last function is y=cotxy = \cot xy=cotx.
Now that we are finished looking at the 6 trig functions, let’s now review some of the trigonometric identities that come in handy when taking derivatives.,
Trigonometrische Identitäten
Die ersten sechs Identitäten sind reziproke Identitäten, die sich als nützlich erweisen, wenn Sie Ihre Ableitungen in einer bestimmten Form haben möchten.
Nun sind diese drei die wichtigsten Identitäten.
Sie sind sehr nützlich, wenn es um die Vereinfachung der Derivate., Nachdem wir nun die Grundlagen festgelegt haben, werfen wir einen Blick auf die Ableitung von Trig-Funktionen.
Trig-Derivate
Die sechs Trig-Funktionsderivate lauten wie folgt:
1. Die Ableitung von sinx\sin xsinx ist:
2., The derivative of cosx\cos xcosx is:
3. The derivative of tanx\tan xtanx is:
4. The derivative of cscx\csc xcscx is:
5., The derivative of secx\sec xsecx is:
6., Die Ableitung von cotx\cot xcotx ist:
Wenn Sie wirklich wissen möchten, wie wir die Ableitungen erhalten, dann schauen Sie sich diesen Artikel unten an:
Ableitung von cotxvon inversen Trig-Funktionen
Der Artikel zeigt, dass die Ableitung von sin und Kosinus unter Verwendung der Definition von Derivaten gefunden werden kann, und der Rest kann mit der Quotientenregel gefunden werden. Stellen Sie sicher, dass Sie diese Derivate gut auswendig lernen!, Wir werden diese verwenden, um noch härtere trigonometrische Funktionen abzuleiten. Möglicherweise möchten Sie auch die Kettenregel überprüfen, da dies für viele harte Trig-Derivate erforderlich ist.
Ableitung von sin^2x
Wir wissen vielleicht, dass die Ableitung von sin cosx\cos xcosx ist, aber was ist mit der Ableitung von sin2x\sin^{2} xsin2x? Beginnen wir mit der Definition der Funktion
Lassen Sie uns bewegen Sie den quadratischen term, so dass die Funktion wird:
Wir werden hier die Kettenregel verwenden. Denken Sie daran, dass die Kettenregel besagt, wenn Sie eine Funktion innerhalb einer Funktion haben, rufen Sie sie auf
Then the derivative of this function will be
So if we set
Then, the derivative of these functions will be:
Und so ist die Ableitung der Funktion f(x) wird:
Was ist die Ableitung von sin2x\sin^{2} xsin2x. Es war nicht so schwer wie wir dachten! Schauen wir uns die harte an.
Ableitung von cos^2x
Auch hier wissen wir, dass die Ableitung von Cosinus-sinx – \sin x-sinx ist, aber was ist mit der Ableitung von cos2x\cos^{2} xcos2x?, We set the function to be
Again, if we rearrange the square in the function, then we will see that
Using the chain rule again, we set:
Taking the derivative of these functions gives:
So the derivative of the function will be:
This is very similar to the derivative of sin2x\sin^{2} xsin2x, except we have an extra negative sign!, Dennoch ist dies die Ableitung von cos2x\cos^{2} xcos2x. Versuchen wir, die Ableitung einer anderen quadratischen trigonometrischen Funktion zu finden.
Ableitung von sec^2x
Die Schlüsselidee, die Ableitung von sec2x\sec^{2} xsec2x zu nehmen, verwendet wiederum die Kettenregel. Wir definieren die Funktion als
Rearranging the square in the function gives us:
We set:
Taking the derivative of secant and x2x^{2}x2 gives:
Again in case you forgot, the derivative of sec is secxtanx\sec x \tan xsecxtanx. Hence, the derivative of sec2x\sec^{2} xsec2x is
Ableitung von sinx^2
Nun, bevor Sie verwirrt werden, ist dies eine Funktion, die ähnlich wie sin2x\sin^{2} xsin2x aussieht. sin2x\sin^{2} xsin2x unterscheidet sich jedoch von sin x2 x2\sin x^{2}sinx2. Es wird also natürlich auch andere geben. Wir die Funktion definiert werden:
Beachten Sie, dass wir hier die Kettenregel verwenden werden., We set
We know the derivative of g(x) is 2x and the derivative of sinx\sin xsinx is cosx\cos xcosx. So
Hence the derivative of the function will be:
Now let’s try the same thing for finding the derivative of cosx2\cos x^{2}cosx2!
Derivative of cosx^2
We define the function to be:
Using the chain rule we set:
Taking the derivative of g(x) gives 2x and taking the derivative of cosine gives −sinx- \sin x−sinx. So
Hence the derivative of the function is:
Let’s do two more before we start doing even harder trigonometric functions.,
Derivative of tanx^2
Again, the function we have is:
Using the chain rule, we set g(x) and h(x) to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of tan\tantan is sec2\sec^{2}sec2, so
Using the chain rule formula, we get the derivative of tanx^2 is:
Dieses ist etwas schwieriger, da die Ableitung zwei Quadrate zu haben scheint; eines aus secant und eines aus x. Schauen wir uns schließlich die Ableitung von csc x2 x2\csc x^{2}cscx2 an.
Ableitung von cscx^2
Die Funktion, die wir haben, ist:
In order to do chain rule, we let two functions, g(x) and h(x), to be:
The derivative of x2x^{2}x2 is 2x, and the derivative of csc is -cscxcotx\csc x \cot xcscxcotx, so
Unter Verwendung der Kettenregelformel erhalten wir, dass die Ableitung von csc x2 x2\csc x^{2}cscx2 ist:
Auch hier wird der Prozess in Nehmen Sie die Ableitung von secx2\sec x^{2}secx2und cotx2\cot x^{2}cotx2 wird auch die gleiche sein. Wenn Sie sich weitere Fragen zur Ableitung trigonometrischer Funktionen ansehen möchten, dann schlage ich vor, dass Sie sich diesen Link ansehen.,
Jetzt ist es Zeit, weiterzumachen und sich einige Fragen anzusehen, die sich auf die Steigung einer Funktion beziehen.
Steigung einer trigonometrischen Funktion
Angenommen, wir möchten die Steigung der Funktion finden:
Am Punkt x=0. Wie würden wir es tun? Nun, realize take find Die Steigung einer Funktion ist genau die gleiche wie die Ableitung. Dies erfordert die Verwendung der Quotientenregel, da die Funktion ein Quotient ist.,
Denken Sie daran, dass die Quotientenregel Folgendes sagt:
Wenn Sie eine Funktion haben
Dann lautet die Ableitung dieser Funktion:
So if we were to set
Then their derivatives will be:
Hence, using the quotient rule gives the derivative:
Simplifying this equation gives:
To simplify this equation, we would want to use the trigonometric identity:
So our equation becomes:
Now that we have the derivative, all we have to do is plug in the point x=0 to get the slope., Daher,
Somit beträgt die Steigung der Funktion am Punkt x = 0 genau 12\frac{1}{2}21. Was wäre jedoch, wenn wir die Tangentialneigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt erhalten würden und diesen Punkt finden müssten?
Finden der Punkte bei gegebener Steigung
Angenommen, Sie erhalten die Funktion:
Und Sie möchten die Menge der Punkte finden, deren Steigung der Tangente gleich 0 ist. Dies bedeutet, dass wir die Ableitung nehmen und auf 0 setzen müssen, um die x-Werte zu finden. Beachten Sie, dass die Ableitung von tan\tantan ist sec2\sec^{2}sec2 und die Ableitung von cot\cotcot ist –csc2\csc^{2}csc2, so
Note that the reciprocal identities state that:
Hence, our equation becomes:
Let’s try to solve for x in this equation., See that:
Moving the sin2x\sin^{2} xsin2x to the other side gives:
Recall the trigonometric identity
Wir können isolieren sin2\sin^{2}sin2 selbst in die Gleichung so, dass:
Wenn wir dies in unsere Gleichung einfügen, ergibt sich:
Jetzt müssen wir uns den positiven und dann den negativen Fall ansehen., Für den positiven Fall haben wir:
Da x nicht begrenzt ist, gibt es unendlich viele Lösungen. In der Tat wissen wir, dass die Lösungen sind:
Now if we were to look at the negative case, then we have:
Again, there are infinitely many solutions for this. The solutions for this equation will be:
Schauen wir uns nun die vier Lösungen als Ganzes an. Beachten Sie, dass die beiden Paare gleich sind
So können wir nur die beiden Lösungen ausschließen und sagen, dass die Lösungen
So können wir daraus schließen, dass dies die Menge von Punkten sind, in denen die Steigung der Funktion gleich 0 ist.
Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen
Nun ist die Ableitung inverser Trig-Funktionen etwas hässlicher zu merken. Beachten Sie, dass wir dazu neigen, das Präfix „arc“ anstelle der Potenz von -1 zu verwenden, damit sie nicht mit reziproken Trig-Funktionen verwechselt werden. Unabhängig davon bedeuten sie dasselbe. Zum Beispiel, Ableitung von arctan ist die gleiche wie die Ableitung von tan-1\tan^{-1}tan−1.,
Hier sind die inversen Trig-Derivate, die Sie kennen müssen.
Beachten Sie, dass die Arctan-Ableitung der Ableitung von arccot ähnlich ist, außer es gibt ein zusätzliches negatives Vorzeichen. Zufälligerweise sehen wir, dass die Ableitung von Arcsin der Ableitung von Arccos ähnlich ist. Der Unterschied ist wieder das negative Vorzeichen. Wir werden hier keine Beispiele für die Ableitung von inversen Trig-Funktionen machen., Wenn Sie jedoch interessiert sind,dann schauen Sie sich bitte diesen Artikel hier an:
Ableitung von inversen Trig-Funktionen
Der Artikel hier gibt eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung zur Ableitung dieser Ableitungen.